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Sei \( A:=\left(\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 2 & -3\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{2,2}(\mathbb{R}) \)
i) Gibt es ein invertierbares \( M \in M_{2,2}(\mathbb{R}) \), so dass
\( M^{-1} A M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) \)
ii) Berechnen Sie:
\( A^{2014} \)
Hierbei ist \( A^{n} \) für \( n>0 \) induktiv definiert durch: \( A^{1}=A \) und \( A^{n+1}=A^{n} \cdot A \).


kann jemand weiterhelfen? zur schreibweise:

2 x 2 Matrix, also eine Matrix mit 2 Zeilen (die erste 2) und 2 Spalten (die zweite 2).

Die 4 Elemente innerhalb der Matrix sind aus ℝ. aber jetzt weiß ich nicht weiterzur invertierbarkeit mach ich das mit determinante? weiß jemand einen Rat?

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Könnte es sein, dass du dazu die Eigenwerte und Eigenvektoren von A brauchst?

1 Antwort

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zu I)

Wenn es ein solches M gibt, dann gilt:

$${ M }^{ -1 }AM=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow AM=M\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Mit  \(M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) bedeutet das:

$$\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Daraus lässt sich folgendes Gleichungssystem ablesen:

3 a - 4 c = a
3 b - 4 d = - b
2 a - 3 c = c
2 b - 3 d = - d

Löst man auf erhält man:

c = c
b = d
a = 2 c

b und c sind also frei wählbar.

Wählt man etwa b = c = 1, so ergibt sich a = 2 und d = 1 und somit:

$$M=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Invertiert man M, so erhält man:

$${ M }^{ -1 }=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$

M ist also invertierbar. Rechnet man nun M-1AM aus, so erhält man:

$${ M }^{ -1 }AM=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

also das Gewünschte.

 

zu ii)

Berechnet man die Inverse A-1 von A, so stellt man fest:

A-1 = A

A ist also zu sich selbst invers, was bedeutet, dass gilt:

A-1A = A A = A 2 = E

und damit auch

A 2014 = ( A 2)1007 = E 1007 = E

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