zu I)
Wenn es ein solches M gibt, dann gilt:
$${ M }^{ -1 }AM=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow AM=M\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
Mit \(M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) bedeutet das:
$$\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
Daraus lässt sich folgendes Gleichungssystem ablesen:
3 a - 4 c = a
3 b - 4 d = - b
2 a - 3 c = c
2 b - 3 d = - d
Löst man auf erhält man:
c = c
b = d
a = 2 c
b und c sind also frei wählbar.
Wählt man etwa b = c = 1, so ergibt sich a = 2 und d = 1 und somit:
$$M=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Invertiert man M, so erhält man:
$${ M }^{ -1 }=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$
M ist also invertierbar. Rechnet man nun M-1AM aus, so erhält man:
$${ M }^{ -1 }AM=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
also das Gewünschte.
zu ii)
Berechnet man die Inverse A-1 von A, so stellt man fest:
A-1 = A
A ist also zu sich selbst invers, was bedeutet, dass gilt:
A-1A = A A = A 2 = E
und damit auch
A 2014 = ( A 2)1007 = E 1007 = E