A:=((3,-4),(2,-3)). Gibt es ein invertierbares M so dass M^{-1} A M = ((1,0)(0,-1))?

Question

Sei \( A:=\left(\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 2 & -3\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{2,2}(\mathbb{R}) \)
i) Gibt es ein invertierbares \( M \in M_{2,2}(\mathbb{R}) \), so dass
\( M^{-1} A M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) \)
ii) Berechnen Sie:
\( A^{2014} \)
Hierbei ist \( A^{n} \) für \( n>0 \) induktiv definiert durch: \( A^{1}=A \) und \( A^{n+1}=A^{n} \cdot A \).

kann jemand weiterhelfen? zur schreibweise:

2 x 2 Matrix, also eine Matrix mit 2 Zeilen (die erste 2) und 2 Spalten (die zweite 2).

Die 4 Elemente innerhalb der Matrix sind aus ℝ. aber jetzt weiß ich nicht weiterzur invertierbarkeit mach ich das mit determinante? weiß jemand einen Rat?

Comments

Könnte es sein, dass du dazu die Eigenwerte und Eigenvektoren von A brauchst?

Answer 1

zu I)

Wenn es ein solches M gibt, dann gilt:

$${ M }^{ -1 }AM=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow AM=M\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Mit  \(M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) bedeutet das:

$$\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Daraus lässt sich folgendes Gleichungssystem ablesen:

3 a - 4 c = a
3 b - 4 d = - b
2 a - 3 c = c
2 b - 3 d = - d

Löst man auf erhält man:

c = c
b = d
a = 2 c

b und c sind also frei wählbar.

Wählt man etwa b = c = 1, so ergibt sich a = 2 und d = 1 und somit:

$$M=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Invertiert man M, so erhält man:

$${ M }^{ -1 }=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$

M ist also invertierbar. Rechnet man nun M^-1AM aus, so erhält man:

$${ M }^{ -1 }AM=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

also das Gewünschte.

 

zu ii)

Berechnet man die Inverse A^-1 von A, so stellt man fest:

A^-1 = A

A ist also zu sich selbst invers, was bedeutet, dass gilt:

A^-1A = A A = A ² = E

und damit auch

A ²⁰¹⁴ = ( A ²)¹⁰⁰⁷ = E ¹⁰⁰⁷ = E