Konvergenz der Summe von sin(n) beweisen.

Question

Hallo Leute. Könnt ihr mir bitte helfen.

Ich muss zeigen ob Die Summe (n=0 -> unendlich) von sin(n) konvergiert.

Rein gefühlsmäßig würde ich sagen nein. Aber ich kanns nicht beweisen.

Könnt ihr mir bitte helfen.

Answer 1

Hallo,

nach dem Nullfolgenkriterium muss \(\sin(n)\) für \(n\to \infty\) gegen \(0\) konvergieren (stimmt das?), um überhaupt Grundlage für Konvergenzuntersuchungen zu bieten.

Argumentiere mit der Periodizität.

Comments

Wenn an eine Nullfolge ist dann is die Summe von an konvergent.

sin(n) hat unendlich viele Häufungspunkte aufgrund der periodizität und konvergiert daher nicht gegen null.

Kann ich das so verstehen ?

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Wenn an eine Nullfolge ist dann is die Summe von an konvergent.

Moment mal, das habe ich nicht gesagt. Die harmonische Reihe liefert ein triviales Gegenbeispiel für diese These.

Es gilt:

Keine Nullfolge => Divergenz

Nullfolge => Konvergenz oder Divergenz

Man sagt "die Nullfolge ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz, aber keine hinreichende".

sin(n) hat unendlich viele Häufungspunkte aufgrund der periodizität und konvergiert daher nicht gegen null.

Ok. Besser: konvergiert gar nicht.

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Kann man das formal irgendwie aufschreiben ?

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Für alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt, dass: \(\sin(n)=\sin(n+2\pi)=\sin(n+4\pi)=\sin(n+6\pi)=\cdots\) bzw. \(\sin(n+2k\pi)=\sin(n)\) für alle \(k\in \mathbb{Z}\) und \(n\in \mathbb{N}\). Damit wird jedes \(n\) unendlich mal angenommen.