Prüfen Sie auf Irreduzibilität in Z[X] und Q[X]. (i) 3X^4 + 6X^2 − 12X + 10 (ii) 3X^2 − 5X + 17

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie auf Irreduzibilität in Z[X] und Q[X].
(i) 3X⁴ + 6X² − 12X + 10
(ii) 3X² − 5X + 17
(iii) 8X³ − 4X² + 2X − 1
(iv) 2X⁴ + 200X³ + 2000X² + 20000X + 20

könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

Comments

i) und iv) kannst du mit dem Eisenstein-Kriterium überprüfen. Wenn du eine geeignete Primzahl findest, ist das Polynom irreduzibel über Q. Wenn dann zusätzlich noch der Inhalt des Polynoms (der ggT aller Koeffizienten) gleich 1 ist, ist es auch irreduzibel über Z.

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i) irreduzibel über Q und Z

ii) irreduzibel über Q, aber nicht über Z (man kann 2 ausklammern)

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Könntest du bitte eins von den zwei machen? Dann verstehe ich das gut und mache selbst die zweite..

Vielen Dank im Voraus :)

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Du musst doch nur eine Primzahl finden, die nicht den Leitkoeffizienten (vor der höchsten Potenz) aber sonst alle anderen teilt. Außerdem darf der Absolutterm (der ohne X) nicht vom Quadrat der Primzahl geteilt werden.

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Könntest du bitte eins von den zwei machen? Dann verstehe ich das gut und mache selbst die zweite..

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

b ist einfach: Keine reellen Nullstellen, also irreduzibel

in Z[X] und Q[X]..

und Es gilt:
8X^3 − 4X^2 + 2X − 1=(4x^2+1)*(2x-1)

==>  Das Polynom ist reduzibel in Z[X] und Q[X].

Comments

wieso keine reellen Nullstellen könntest du mir das bisschen erklären bitte? ;)

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3X^2 − 5X + 17 = 0 gibt keine Lösung

(Mitternachtsformel)

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Könntest du mir bitte bei den anderen helfen? :)

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iii) hat die Nullstelle 1/2, also reduzibel über Q[x] aber

nicht über Z[x].

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wieso reduzibel über Q[x] aber nicht über Z[x]? könntest du bitte mehr erklären damit ich verstehe und Schritte der Lösung schreiben ?

Vielen Dank im Voraus! :)

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Hab mich vertan, es ist reduzibel bei beiden,

weil es (2x-1)*(4x^2+1) ist.

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Könntest du bitte nur eine davon die komplette Lösung schreiben und so ?

Also ich will die genauen Schritte sehen, damit ich das richtig alles verstehe und dann den Rest selbst machen..

Vielen Vielen Dank im Voraus :)