Es geht in die richtige Richtung, aber es sind Fehler enthalten:
Z.z.: Es gilt U⊆G
Sein x1,x2 ∈Un beliebig.
Es wird \(U\) betrachtet. Also muss es lauten: Seien \(x_1,x_2\in U\). Was kannst du damit per Definition von \(U\) sagen?
Da $$U:=\bigcap_{n\epsilon I}U_{n}$$
gilt x1,x2 ∈U.
Das geht allgemein so nicht. Du hast nur \(x_1,x_2\) aus einem beliebigen \(U_n\) genommen. Das heißt aber noch lange nicht, dass es in allen \(U_n\) enthalten ist, bzw. kannst du damit per Definition von \(U\) nicht darauf schließen, dass \(x_1,x_2\in U\) gilt. Du musst also wie oben erwähnt Elemente aus \(U\) betrachten.
Da Un Untergruppe von G ist, gilt x1,x2 ∈G
Das ist richtig.
Damit gilt U⊆G.
Nein, da nach deiner Wahl von \(x_1,x_2\) aus nur einem konkretem \(U_n\) nicht einmal allgemein \(x_1,x_2\in U\) folgt.
Da zu jedem a∈ Un ein inverses Element a-1 ∈ Un existiert und U⊆Un ,
existiert auch zu jedem a∈U ein a-1 ∈ U.
Auch hier wieder. Betrachte Elemente nicht aus einem konkreten \(U_n\), sondern aus \(U\). Also muss es wieder lauten: Seien \(x_1,x_2\in U\). Was kannst du damit per Definition von \(U\) sagen? Außerdem ist \(U\) auch nicht im allgemeinen eine Teilmenge von \(U_n\).
Da Un eine Untergruppe von G ist, gilt für alle a◦b∈ Un die Abgeschlossenheit in Un .
Da U ⊆Un gilt auch in U die Abgeschlossenheit.
Genau dasselbe. Mit \(U\) arbeiten.