Nachweis einer Untergruppe von (G,◦ )

Question

Aufgabe:

Sei (G, ◦) eine Gruppe. Seien I eine Indexmenge und U_n Untergruppen
von G für n ∈ I.

Z.z.:  $$U:=\bigcap_{n\epsilon I}U_{n}$$

ist eine Untergruppe von G.

Ich stehe hier leider schon bzgl. des Lösungsansatzes auf auf dem Schlauch, für einen Lösungshinweis wäre ich sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Hallo, du musst drei Sachen zeigen:

1.) Es gilt \(U\subseteq G\)

Für alle \(a,b\in U\) gilt:

2.) \(a^{-1}\in U\) (Inverses von \(a\))

3.) \(a \circ b\in U\) (Abgeschlossenheit bzgl der Verknüpfung \(\circ\) aus der Gruppe \(G\))

Alle drei Eigenschaft machen eine Untergruppe aus.

Comments

Danke für deinen Hinweis,

ich habe deinen Hinweis nun wie folgt umgesetzt:

Z.z.: Es gilt U⊆G

Sein x1,x2 ∈U_n beliebig.

_Da  

_{$$U:=\bigcap_{n\epsilon I}U_{n}$$}

gilt  x1,x2 ∈U.

Da U_n Untergruppe von G ist, gilt x1,x2 ∈G

Damit gilt U⊆G.

Da zu jedem a∈ U_n ein inverses Element a^-1 ∈ U_n existiert und U⊆U_n ,

existiert auch zu jedem a∈U ein a^-1 ∈ U.

Da U_n eine Untergruppe von G ist, gilt für alle a◦b∈ U_n die Abgeschlossenheit in U_n .

Da U ⊆U_n gilt auch in U die Abgeschlossenheit.

Damit gilt U ist Untergruppe von G. q.e.d.

Habe ich deinen Lösungshinweis richtig umgesetzt oder sind noch Fehler in meinem Beweis?

Für Rückmeldungen wäre ich sehr dankbar

Beste Grüße

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Es geht in die richtige Richtung, aber es sind Fehler enthalten:

Z.z.: Es gilt U⊆G

Sein x1,x2 ∈Un beliebig.

Es wird \(U\) betrachtet. Also muss es lauten: Seien \(x_1,x_2\in U\). Was kannst du damit per Definition von \(U\) sagen?

Da $$U:=\bigcap_{n\epsilon I}U_{n}$$
gilt  x1,x2 ∈U.

Das geht allgemein so nicht. Du hast nur \(x_1,x_2\) aus einem beliebigen \(U_n\) genommen. Das heißt aber noch lange nicht, dass es in allen \(U_n\) enthalten ist, bzw. kannst du damit per Definition von \(U\) nicht darauf schließen, dass \(x_1,x_2\in U\) gilt. Du musst also wie oben erwähnt Elemente aus \(U\) betrachten.

Da Un Untergruppe von G ist, gilt x1,x2 ∈G

Das ist richtig.

Damit gilt U⊆G.

Nein, da nach deiner Wahl von \(x_1,x_2\) aus nur einem konkretem \(U_n\) nicht einmal allgemein \(x_1,x_2\in U\) folgt.

Da zu jedem a∈ Un ein inverses Element a-1 ∈ Un existiert und U⊆Un ,

existiert auch zu jedem a∈U ein a-1 ∈ U.

Auch hier wieder. Betrachte Elemente nicht aus einem konkreten \(U_n\), sondern aus \(U\). Also muss es wieder lauten: Seien \(x_1,x_2\in U\). Was kannst du damit per Definition von \(U\) sagen? Außerdem ist \(U\) auch nicht im allgemeinen eine Teilmenge von \(U_n\).

Da Un eine Untergruppe von G ist, gilt für alle a◦b∈ Un die Abgeschlossenheit in Un .

Da U ⊆Un gilt auch in U die Abgeschlossenheit.

Genau dasselbe. Mit \(U\) arbeiten.