Beweis eines Vektorraumes

Question

Aufgabe:

F ist die Menge von Funktionen N-> R

Ich muss zeigen, dass F ein R Vektorraum ist.

Problem/Ansatz:

Dafür braucht man ja einen Körper (K,+,*) und eine Menge .

Ist hier (F,+,*) der Körper und was wäre dann die Menge?

Answer 1

Hallo, du brauchst aber auch zwei Verknüpfungen, um eine Vektorraumstruktur erschaffen zu können: Addition und skalare Multiplikation. Damit verknüpft man Funktionen aus deiner Menge F.

Wie nun lauten aber bei dir die Verknüpfungen?

Comments

Die lautet: F:= {f: N->R ist eine Funktion}. Und für gilt f,g e F -> f+g eF

und skalare Multiplikation λ*f eF

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Nein. Wie lauten die Verknüpfungen für Addition und skalare Multiplikation?

Addition und skalare Multiplikation sind erstmal nur Namen für Verknüpfungen. Verknüpfungen kann man beliebig definieren.

Addition kann z.b bei zwei Funktionen so aussehen:

\((f+g)(x):=f(x)+g(x)\) für alle \(x\in N\).

Stattdessen könnte man aber auch Addition so einführen:

\((f+g)(x):=\max(f(x),g(x))\) für alle \(x\in N\).

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Ich verstehe das Thema leider noch nicht ganz so gut.

Es steht noch:

f+g: N->R, x->f(x)+g(x)

λ*f: N->R, X->λf(x)

Ich weiß jetzt nicht ob du das meintest.

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Genau das meinte ich! :-)

Du hast diese zwei Verknüpfungen für alle \(f,g\in F\) gegeben:

Addition:

\(f+g:\ N \rightarrow R, \ x \mapsto f(x)+g(x)=:(f+g)(x)\)

skalare Multiplikation:

\(\lambda \cdot f:\ N \rightarrow R, \ x \mapsto \lambda\cdot f(x)=:(\lambda\cdot f)(x)\).

Damit musst du jetzt die Vektorraumaxiome nachrechnen.

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Wäre das nicht einfach zb. beim Distributivgesetz;

(λ+µ)*f(x)=λ * f(x)+ µ*f(x)

Was müsste man da nachrechnen?

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Ja, genau. Schreibe aber mal deine Rechnung etwas weiter aus, sodass man sieht, dass du die Definitionen der Verknüpfungen anwendest. Also:

\(((\lambda+\mu)\cdot f)(x)\stackrel{Def.}{=}(\lambda+\mu)\cdot f(x)=\lambda\cdot f(x)+\mu\cdot f(x)\stackrel{Def.}{=}(\lambda\cdot f)(x)+(\mu\cdot f)(x)\)

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OKay danke, Dann wäre es beim vektoriellen Distributivgesetz mit λ e K und f,g e F:

λ·(f+g)(x) = λ·(f(x)+g(x)) = λ·f(x) + λ·g(x) = (λ·f)(x) + (λ·g)(x) oder?

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Dann ist die Assoziativität bezüglich der Multiplikation auch ganz einfach. Jettzt muss man doch nur 1·v = v zeigen.

Reicht das hier?:

(1· f)(x) = (1· f(x))=f(x)

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Dann ist die Assoziativität bezüglich der Multiplikation auch ganz einfach.

Ja, aber beweise es der Vollständigkeit lieber trotzdem.

Deine Rechnung stimmt fast. Es muss heißen:

\((1\cdot f)(x)=1\cdot f(x)=f(x)\).