Gleichungssystem besteht nur aus Unbekannten

Question

Aufgabe:

Guten morgen liebe Mathelounge:

Ich habe folgendes Gleichungssystems über R und soll hierfür alle Lösungen berechnen:

x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 1

x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ = 2

2x₁ + 3x₂ + 4x₃ + 5x₄ = 3

3x₁ + 4x₂ + 5x₃ + 6x₄ = 4

Problem/Ansatz:

ich bin mir nicht ganz sicher wie ich das hierbei anstellen soll.

Meine Idee wäre es die Gleichungen in die Stufenform zu bringen und dafür die erste und zweite Zeile erst einmal zu tauschen.

Wäre das der richtige weg oder bin ich da ganz falsch?

Also wenn ich das so machen bekomme ich Folgendes Ergebnis aber irgendwie bringt mich das auch nicht weiter

1	2	3	4	2
0	1	2	3	1
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

Answer 1

Mein Vorschlag wäre es aus

4 Gleichungen mit 4 Unbekannten zu
3 Gleichungen mit 3 Unbekannten zu
machen dann
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten zu
machen

Beispiel
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 2  | * 2
2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 3

2x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4 = 4 
2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 3 | abziehen
-----------------------------------
x2 + 2x^3 + 3x4 = 1

2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 3  | * 3
3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 = 4  | * 2

6x1 + 9x2 + 12x3 + 15x4 = 9
6x1 + 8x2 + 10x3 + 12x4 = 8 | abziehen
-----------------------------------
1x^2 + 2x3 + 3x4 = 1

Nach dem 1.Schritt
x2 + 2x3 + 3x4 = 1
x2 + 2x3 + 3x4 = 1
x2 + 2x3 + 3x4 = 1

Hier zeigt sich das überall dasselbe
herauskommt. Ich denke es ist eine
Vera...frage.

Kannst du ein Foto der Frage einstellen ?

Comments

Text erkannt:

Man bestimme alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems über \( \mathbb{R} \).
$$ \begin{array}{r} x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=1 \\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=2 \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}+5 x_{4}=3 \\ 3 x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4}=4 \end{array} $$

So sieht die Aufgabe aus.

Ich komme da einfach auf kein richtiges Ergebnis

Answer 2

Lösung sind alle Quadrupel (x₁,x₂,x₃,x₄) mit x₁ - x₃ - 2·x₄ = 0 und x₂ + 2·x₃ + 3·x₄ = 1.

Comments

Ich verstehe leider nicht genau was du damit meinst

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Das System hat unendlich viele Lösungsquadrupel, zum Beispiel x₁=1, x₂=1, x₃=3, x₄=-1 und viele andere.

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Hallo Roland,
wie kommst du auf die Bedingung ?
x1 - x3 - 2·x4 = 0

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Die nennt mein CAS.

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Ich habe es gerade auch versucht.
Du stellst die 1.Gleichung nach x2 um
und setzt dann x2 in die anderen Gleichun-
gen ein. Dann erhältst du die Bedingung.

Answer 3

Hallo Kalle,

Du hast schon völlig richtig angefangen. Im nächsten Schritt solltest Du das doppelte der zweiten Zeile noch von der ersten abziehen. Dann gibt das $$\begin{array}{cccc|c}1& 0& -1& -2& 0\\ 0& 1& 2& 3& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}$$Wenn man die letzten beiden Zeilen wieder als Gleichungen schreibt, so sind diese für alle Werte von \(x_i\) erfüllt. Oder anders ausgedrückt: diese beide Zeilen enthalten keinerlei Information zu den Unbekannten. D.h. das LGS ist zweifach unterbestimmt.

Du kannst also zwei der Unbekannten frei wählen. Idealerweise diejenigen, die nicht in dem Bereich stehen, wo die Diagonale mit 1'en besetzt ist - also \(x_3=r\) und \(x_4=s\). Dann bleibt stehen$$x_ 1  -r - 2s = 0 \implies x_1 = r + 2s \\ x_2 + 2r +3s = 1 \implies x_2 = 1 - 2r - 3s$$Damit bekommen wir für beliebige Paramter \(r,\,s\in \mathbb R\) immer eine Lösung für die Unbekannten \(x_1\) bis \(x_4\).

In Vektorschreibweise sieht das so aus$$\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\\ 0\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}2\\ -3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}s$$falls Du noch Frage hast, so melde Dich bitte.

Comments

Hallo Werner,
nachdem ich durch Ersetzen von x1 aus
4 Gleichungen mit 4 Unbekannten
3 Gleichungen mit 3 Unbekannten
gemacht habe

x2 + 2x3 + 3x4 = 1
x2 + 2x3 + 3x4 = 1
x2 + 2x3 + 3x4 = 1

haben die Gleichungen denselben
Informationsgehalt.
Ich kenne sowas nur von
Vera..schungsfragen.

mfg Georg

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Ich kenne sowas nur von Vera..schungsfragen

Von Vera's Fragen? Wer ist Vera? OK ... ich habe das schon verstanden! ;-)

Und das muss auch keine Frage von Vera sein, sondern ist schlicht ein (zweifach) unterbestimmtes Gleichungssystem. Was zwar unendlich viele, aber nicht beliebige(!) Lösungen hat.

Anschaulich befinden sich die Löungsquadrupel in einer Ebene eines 4-dimensionalen Raumes. Man könnte auch sagen: Ist halt Lineare Algebra. Das wird zwar an der Schule i.A. nicht so benannt, aber der Typ Aufgabe kann da durchaus vorkommen.

Übrigens geschichtlich ist das interessant: ich hatte mal gelesen, dass man Matrizen, deren Determinante =0 ist, bzw, die sich nicht nicht invertieren lassen, lange Zeit als uninteressant abgetan hat (nur was für Vera!). Eben weil sich das LGS nicht eindeutig lösen lässt. Erst als man die Natur der Abbildung untersuchte, wurden sie wichtig.

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Hallo Werner,

x2 + 2x3 + 3x4 = 1
Der Lösungsterm entpuppte sich also als dreifach redundant. angegeben.

Die Lösung stand schon in der ersten Zeile
x2 + 2x3 + 3x4 = 1
der Frage.

Irgendein Erkenntnisgewinn ist ja für deine" long version " der Beantwortung für mich nicht gegeben.

Kann aber jeder machen wie er will.

Nix für ungut.

mfg Georg

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Die Lösung stand schon in der ersten Zeile
x2 + 2x3 + 3x4 = 1
der Frage.

Keineswegs, das ist nicht die Lösung. Danach könnte ja \(x_1=99\), \(x_2=1\) und \(x_{3,4}=0\) sein. Das ist aber falsch, da dieses Quadrupel die Gleichungen (2) bis (4) nicht erfüllt.

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Dein Gegenbeispiel stimmt.
Ich kann aber in meinen Berechnungen
keinen Fehler entdecken.
Wieso kommt Roland noch auf die
Bedingung
x1 - x3 - 2·x4 = 0