Berechnen Sie Cov(−12X1−X2,X1+11X2).

Question

Aufgabe:

Es seien \(X_1\) und \(X_2\) Zufallsgrößen mit \(σ^2_1=15\), \(σ^2_2=16\) und \(\operatorname{Cov}(X_1,X_2)=σ_{12}=11\).

Berechnen Sie \(\operatorname{Cov}(−12X_1−X_2,X_1+11X_2)\).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Die Covarianz ist eine Biliniearform, das heißt, sie ist linear in beiden Komponenten.

$$\phantom{=}\operatorname{Cov}(-12X_1-X_2;X_1+11X_2)$$$$=-12\,\operatorname{Cov}(X_1;X_1+11X_2)-\operatorname{Cov}(X_2;X_1+11X_2)$$$$=-12\,\left[\,\operatorname{Cov}(X_1;X_1)+11\,\operatorname{Cov}(X_1;X_2)\,\right]-\left[\,\operatorname{Cov}(X_2;X_1)+11\operatorname{Cov}(X_2;X_2)\,\right]$$$$=-12\operatorname{Cov}(X_1;X_1)-132\operatorname{Cov}(X_1;X_2)-\operatorname{Cov}(X_2;X_1)-11\operatorname{Cov}(X_2;X_2)$$$$=-12\operatorname{Var}(X_1)-133\operatorname{Cov}(X_1;X_2)-11\operatorname{Var}(X_2)$$$$=-12\sigma_1^2-133\sigma_{12}-11\sigma_2^2$$$$=-12\cdot15-133\cdot11-11\cdot16$$$$=-1819$$

Comments

Super, danke dir für die Erklärung!