Hallo,
Löse die Gleichung nach \(\ddot x\) auf:$$\ddot x = x^2-x -2x\dot x- 2$$Die zweite Ableitung von \(x\) ist von \(x\) und\(\dot x\) abhängig. Bzw. formal geschrieben$$\ddot x = \ddot x(x, \, \dot x)$$wenn man so will eine Funktion mit zwei Parametern, nach denen man auch ableiten kann$$\begin{aligned} \frac{\partial \ddot x}{\partial x} &= 2x-1-2\dot x \\ \frac{\partial \ddot x}{\partial \dot x} &= -2x \end{aligned}$$Wiil man nun die 'Funktion' \(\ddot x(x,\, \dot x)\) um einen Arbeitspunkt \((x_0,\, \dot x_0)\) linearisieren, so kann man das wie folgt tun:$$\ddot x \approx \frac{\partial \ddot x}{\partial x}(x_0,\, \dot x_0) \cdot (x-x_0) + \frac{\partial \ddot x}{\partial \dot x}(x_0,\, \dot x_0) \cdot (\dot x- \dot x_0) + \ddot x(x_0,\, \dot x_0)$$Für den Arbeitspunkt \((2,\,0)\) wäre dies$$\begin{aligned} \frac{\partial \ddot x}{\partial x}(2,\, 0) &= 2\cdot 2 - 1 - 2 \cdot 0 = 3 \\ \frac{\partial \ddot x}{\partial \dot x}(2,\, 0) &= -2 \cdot 2 = -4 \\ \ddot x(2,\, 0) &= 2^2 - 2 - 2 \cdot 2 \cdot 0 - 2= 0\\ \implies \ddot x(x,\, \dot x) &\approx 3(x-2) - 4(\dot x-0) + 0 = 3x - 4\dot x -6\end{aligned}$$
