Berechnen Sie Cov(3X1−X2,X1+15X2).

Question

Aufgabe:

Es seien X1 und X2 Zufallsgrößen mit σ21=20, σ22=9 und Cov(X1,X2)=σ12=−11.

Berechnen Sie Cov(3X1−X2,X1+15X2).

Problem/Ansatz:

Habe es durchgerechnet und komme nicht auf das richtige Ergebnis. Könnte mir hierbei wer helfen.

Answer 1

Aloha :)

Die Kovarianz ist eine Bilinearform, d.h. sie ist in beiden Argumenten linear. Das nutzen wir bei der Berchnung der Aufgabe schamlos aus:

$$\phantom=\operatorname{Cov}(3X_1-X_2\big|X_1+15X_2)$$$$=\operatorname{Cov}(3X_1\big|X_1+15X_2)+\operatorname{Cov}(-X_2\big|X_1+15X_2)$$$$=\operatorname{Cov}(3X_1\big|X_1)+\operatorname{Cov}(3X_1\big|15X_2)+\operatorname{Cov}(-X_2\big|X_1)+\operatorname{Cov}(-X_2\big|15X_2)$$$$=3\operatorname{Cov}(X_1\big|X_1)+3\cdot15\operatorname{Cov}(X_1\big|X_2)+(-1)\operatorname{Cov}(X_2\big|X_1)+(-1)\cdot15\operatorname{Cov}(X_2\big|X_2)$$$$=3\operatorname{Cov}(X_1\big|X_1)+44\operatorname{Cov}(X_1\big|X_2)-15\operatorname{Cov}(X_2\big|X_2)$$$$=3\sigma_1^2+44\sigma_{12}-15\sigma_2^2$$$$=3\cdot20+44\cdot(-11)-15\cdot9$$$$=-559$$