Berechnen Sie Cov(-18X1-X2, X1+ 10X2)

Question

Es seien X1 und X2 Zufallsgrößen mit σ1^2=10, σ2^2=3 und Cov(X1,X2)=σ12=1

Berechnen Sie Cov(-18X1-X2, X1+ 10X2)

Answer 1

Aloha :)

Die Kovarianz ist eine Bilinearform, d.h. sie ist in jeder ihrer beiden Komponenten linear.

$$\phantom{=}\operatorname{Cov}(-18X_1-X_2;X_1+10X_2)$$$$=-18\operatorname{Cov}(X_1;X_1+10X_2)-\operatorname{Cov}(X_2;X_1+10X_2)$$$$=-18\left(\;\operatorname{Cov}(X_1;X_1)+10\operatorname{Cov}(X_1;X_2)\;\right)-\left(\;\operatorname{Cov}(X_2;X_1)+10\operatorname{Cov}(X_2;X_2)\;\right)$$$$=-18\operatorname{Cov}(X_1;X_1)-180\operatorname{Cov}(X_1;X_2)-\operatorname{Cov}(X_2;X_1)-10\operatorname{Cov}(X_2;X_2)$$$$=-18\operatorname{Var}(X_1)-181\operatorname{Cov}(X_1;X_2)-10\operatorname{Var}(X_2)$$$$=-18\sigma_1^2-181\sigma_{12}-10\sigma_2^2$$$$=-18\cdot10-181\cdot1-10\cdot3$$$$=-391$$