Untersuche ob Mengen konvex sind

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob folgende Mengen konvex sind:

a) .M1 := {(x, y) ∈ R²; 0 ≤ y ≤ x², 0 ≤ x ≤ 2}

b) Seien m, n ∈ N mit m < n, also wie in der Vorlesung. Seien weiter A, B, C ∈ R^m×n und b,d, e ∈ R^m.

Setze M2 := {x ∈ Rⁿ; Ax = b, x ≥ 0, Bx ≥ d, Cx ≤ e}.
Es wird also die Konvexität der Menge der zulässigen Punkte für die Lösung x eines
Linearen Optimierungsproblems mit Gleichheitsnebenbedingungen und Ungleichheitsnebenbedingungen untersucht.

Problem/Ansatz:

ich hätte einige Fragen bzw. Schwierigkeiten mit meiner derzeitigen Aufgabe :(.
Kann mir da jemand weiterhelfen..

Answer 1

Hallo,

a)

\(M\) heißt konvex, wenn für alle \(a,b\in M\) und für alle \(\lambda \in [0,1]\subset \mathbb{R}\) gilt, dass:

\(\lambda a+ (1-\lambda)b\in M\).

Notiz:

Das ist aber einfach nur eine Parameterdarstellung für die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten, die du so vielleicht besser erkennst:$$\lambda a+(1-\lambda )b=\lambda a+b-b\lambda =b+\lambda (a-b)$$ mit Ortsvektor \(\overrightarrow {OB}\) und Richtungsvektor \(\overrightarrow{AB}\).

Untersuchung der Konvexität

Schaut man im Internet nach Bildern von konvexen und nicht-konvexen Mengen (hier), so scheint es klar zu sein, dass es sich bei dieser Menge um keine konvexe handeln kann:

https://www.desmos.com/calculator/gzojcqowyu

Es liegen nämlich \(a=(0,0),b=(1,1)\in M\) aber für \(\lambda=\frac{1}{2}\) gilt:$$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\notin M$$

b) Das ist eine etwas abstraktere Menge, darüber müsste ich intensiver nachdenken. Vielleicht teilst du mir auch ein paar deiner Gedanken, dann können wir das ggf. gemeinsam lösen.