Lineare Unabhänigkeit: Wie erkenne ich dies am schnellsten?

Question

Aufgabe:

Gesucht ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren:

$$\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\4\\8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\6\\12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Wie erkenne ich dies am schnellsten?

Answer 1

Aloha :)

Es ist nicht gefragt, welche Vektoren linear unabhängig sind, das Ergebnis wäre auch nicht eindeutig, sondern es ist nach der Anzahl unabhängiger Vektoren gefragt. Es gibt ein Verfahren, um die linearen Abhängigkeiten der Vektoren untereinader herauszurechnen. Übrig bleiben dann nur sogenannte Basis-Vektoren, aus denen man alle betrachteten Vektoren als Linearkombination bauen kann.

Bei diesem Verfahren schreibst du alle Vektoren als Spalten in eine Matrix und bringst diese Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf Dreickform. Am Ende bleiben nur die Basis-Vektoren übrig:

$$\left(\begin{array}{rrrrr} &-2S_2 & -S_1 & -3S_1 & + S_1\\\hline1 & 2 & 1 & 3 & -1\\2 & 4 & 1 & 6 & 0\\4 & 8 & 2 & 12 & 0\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{rrrrr} -S_5 & &\cdot(-1) & & + 2S_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & -1 & 0 & 2\\4 & 0 & -2 & 0 & 4\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{rrrrr} \vec b_1 & & \vec b_2 & & \\\hline1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{array}\right)$$

Es reichen also \(2\) Vektoren aus, um alle 5 zu bauen. Daher gibt es maximal \(2\) linear unabhängige Vektoren.

Comments

Vielen Dank!

Verzeihung ich habe das falsch geschrieben.

Könnte man auch so argumentieren das Vektor (1,2,4) ein vielfaches von (2,4,8) ist, sowie (1,2,4) von (3,6,12). Somit sind diese 3 linear abhänig und daraus folgt das die übrigen 2 unabhänig sind?

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Ja, so kannst du auch argumentieren. Bei einfachen Vektoren (wie hier) "sieht" man das direkt. Wenn du aber mehr Dimensionen hast, kommt man an einer Berechnung nicht vorbei.

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Sie erklären sehr nachvollziehbar und ausführlich.