Lineare unabhänigkeit Beweis

Question

Aufgabe:

Gegeben seien zwei Vektorräume \( V, W, \) eine lineare Abbildung \( \phi: V \rightarrow W \) und Vektoren \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \). Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(i) Sind \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) linear unabhängig, dann sind auch \( \phi\left(v_{1}\right), \ldots, \phi\left(v_{n}\right) \) linear unabhängig.
(ii) Sind \( \phi\left(v_{1}\right), \ldots, \phi\left(v_{n}\right) \) linear unabhängig, dann sind auch \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) linear unabhängig.

Answer 1

(i) Eine einfache lineare Abbildung ist die, die alles auf 0 abbildet.

Das ist ein Ggenbeispiel zu (i).

(ii) ist aber richtig; denn

Seien \( \phi\left(v_{1}\right), \ldots, \phi\left(v_{n}\right) \) linear unabhängig,

und  a1*v1 + a2*v2 +...+an*vn = 0

==>  φ(a1*v1 + a2*v2 +...+an*vn) = φ(0)=0

wegen der Linearität

==>   a1* φ(v1)+a2* φ(v2) + ... + an* φ(vn) = 0

wegen der lin. Unabh. von \( \phi\left(v_{1}\right), \ldots, \phi\left(v_{n}\right) \)

folgt  a1=a2=...=an=0.  also \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) linear unabhängig. q.e.d.