Grenzwert Berechnung (1-1/e^x)^(e^x)

Question

Aufgabe:

Hallo, ich soll den

limes x-> +∞ von (1-1/e^x)^(e^x)

berechnen. Die Lösung ist 1/e, allerdings weiß ich nicht wie ich den Grenzwert berechnen soll.

Über einen Ansatz würde ich mich sehr freuen.

LG Jan.

Answer 1

Hallo,

Du hast den Typ 1^∞, bei solchem Typ gehst Du zur e-Funktion über.

(falls Ihr das so gelernt habt und Du L'Hospital kennst)

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) (1-1/e^x)^(e^x)

= \( \lim\limits_{x\to\infty} \) (e^(ln((1-1/e^x)^(e^x)))

Schreibe dann geschickt:

= (ln(1 -1/e^x))/e^-x und nutze L'Hospital

Dann nutzt Du L'Hospital und kommst auf die angegebene Lösung.

Answer 2

lim (x → ∞) (1 - 1/e^x)^(e^x)

Subst z = e^x

lim (z → ∞) (1 - 1/z)^z

Das sollte dir jetzt eigentlich schon bekannt vorkommen oder nicht?

lim (z → ∞) EXP(LN( (1 - 1/z)^z ))
lim (z → ∞) EXP(z·LN(1 - 1/z))

Man kümmert sich hier nur zunächst um den Grenzwert des Exponenten

lim (z → ∞) z·LN(1 - 1/z)
lim (z → ∞) LN(1 - 1/z) / (1/z)

L'Hospital

lim (z → ∞) 1/(z·(z - 1)) / (- 1/z^2)
lim (z → ∞) z/(1 - z)
lim (z → ∞) 1 / (1/z - 1) = -1

Jetzt nimmt man wieder die Basis e dazu

lim (z → ∞) EXP(z·LN(1 - 1/z)) = EXP(-1) = 1/e