Zeigen des kartesischen Produkts der Mn

Question

Aufgabe:

. Seien Mn ⊂ N Teilmengen und nehmen
Sie an 0 ∈ Mn, für alle n ∈ N. Sei D ⊂ ×n∈NMn die Teilmenge
des kartesischen Produkts der Mn, die aus denjenigen Tupeln (xn)n∈N
besteht, für die höchstens endlich viele xn ungleich 0 sind. Zeigen
Sie, dass D abzählbar ist. (Hinweis: Schreiben Sie D als abzählbare
Vereinigung abzählbarer Mengen.

Problem/Ansatz:

hallo kann einer mir bitte bei dieser aufgabe helfen ich werde euch sehr dankbar sein :)

Answer 1

Ich nehme einen anderen Weg als den des Hinweises:

Sei \(P\) die Menge der Primzahlen. \(P=\{p_n:\; n \in \mathbb{N}\}\)

Man definiere

\(f:D\rightarrow\mathbb{N}\) durch \(f(x)=\prod_{n \in\mathbb{N}}p_n^{x_n}\).

Wegen der eindeutigen Primzahlzerlegung in \(\mathbb{N}\)

ist \(f\) injektiv, d.h. \(D\) ist gleichmächtig einer Teilmenge von \(\mathbb{N}\)

und damit abzählbar.