Zeigen Sie: Für 1 ≤ n < 1000000 gilt an > bn > cn

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Folgen (an)n∈N, (bn)n∈N, (cn)n∈N mit
an = √(n + 1000) − √n

bn = √(n +√(n))  − √n

cn = √(n +n/1000) −√n

Zeigen Sie: Für 1 ≤ n < 1000000 gilt an > bn > cn,

aber lim n→∞ (an) = 0, lim n→∞ (bn) =1/2  und (cn)n∈N ist unbeschränkt.

(Hinweis: Erinnern Sie sich an die 3. Binomische Formel.)

Problem/Ansatz:

Ich hatte kurz an eine Induktion gedacht, aber das macht hier ja gar keinen Sinn :/ Ich bin ganz ehrlich und sage, dass ich beim Ansatz komplett auf dem Schlauch stehe. Ich glaube sobald ich weiß in welche Richtung ich muss, würde ich den Rest irgendwie hinkriegen, aber ich find den Ansatz nicht :<

Answer 1

an > bn bedeutet an - bn >0.

Bilde also z.B. diese Differenz und werte sie aus.

Sollte sich deine Frage eigentlich auf die Grenzwerte beziehen:

\(\frac{√(n + 1000) − √n }{1}\) kann man mit \((√(n + 1000) + √n) \) erweitern.

Comments

Ja ich verstehe! Vielen Dank für die schnelle und verständliche Antwort! :)