Uneigentliche und eigentliche Grenzwerte von kompliziertem Wurzelbruch

Question

Aufgabe:

Uneigentliche und eigentliche Grenzwerte von lim x->1 (x-1)/x*(wurzelx)-x+2*(wurzelx)-2

Problem/Ansatz:

Also meine Idee wäre die 1 einzusetzen aber dann kommt null raus und auch wenn ich die wurzel über eine Substitution austausche würde immer noch null rauskommen weil auch 1^2 =1 ist. Komme also wirklich nicht weiter. Ein paar Mathezauberer hier die mir helfen können?

Comments

Mir ist nicht klar, wie Wurzelbruch aussieht. Gemäß deiner Klammerung steht da:$$\frac{x-1}{x}\sqrt x-x+2\sqrt x-2$$Das ist aber nicht "kompliziert". Kannst du nochmal die Klammerung prüfen...

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Habs schlecht hingeschrieben alles nach x-1 steht unterm bruchstrich

Answer 1

Aloha :)

In dem Ausdruck$$\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{x-1}{x\sqrt x-x+2\sqrt x-2}\right)=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{x-1}{x^{3/2}-x+2x^{1/2}-2}\right)$$streben Zähler und Nenner für \(x\to1\) unabhängig voneinander gegen den Grenzwert \(0\). Daher kann man hier die "Krankenhaus"-Regel (von L'Hospial) anwenden, also Zähler und Nenner unabhängig voneinader ableiten:$$=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{1}{\frac{3}{2}x^{1/2}-1+x^{-1/2}}\right)=\frac{1}{\frac{3}{2}-1+1}=\frac{2}{3}$$

~plot~ (x-1)/(x*sqrt(x)-x+2*sqrt(x)-2) ; {1|2/3} ; [[0|2|0|1]] ~plot~

Comments

Kann man das auch ohne L‘hopital machen? Wurden extra drauf hingewiesen das wir das nicht dürfen

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Ach, hättest du das vorher geschrieben...

Ja, es geht auch ohne L'Hospital, das ist aber ein wenig Gymnastik. Ich turne mal vor, wenn du was nicht verstehst, frag bitte einfach nochmal nach.

Zuerst der Nenner:$$\frac{x-1}{x\sqrt x-x+2\sqrt x-2}=\frac{x-1}{x(\sqrt x-1)+2(\sqrt x-1)}=\frac{x-1}{(x+2)(\sqrt x-1)}$$Jetzt der Zähler mit der dritten binomischen Formel:$$=\frac{(\sqrt x)^2-1}{(x+2)(\sqrt x-1)}=\frac{(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)}{(x+2)(\sqrt x-1)}$$Jetzt können wir kürzen und danach dann \(x=1\) einsetzen:

$$=\frac{\cancel{(\sqrt x-1)}(\sqrt x+1)}{(x+2)\cancel{(\sqrt x-1)}}=\frac{(\sqrt x+1)}{(x+2)}\stackrel{(x\to1)}\to\frac{2}{3}$$

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Omg danke!! Du rettest mir den Tag! Hatte das auch erst mit ausklammern versucht, aber war mir danach nicht sicher wie man die dritte binomische Formel anwendet. Also die Zahlen vor der Klammer kann ich einfach wieder reinmultiplizieren und krieg das raus?

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Okay ich kanns jetzt nachvollziehen. Danke nochmal