Aufgabe:
M:={1/m + i/n| n,m aus IN} auf HP, offen, abgeschlossen untersuchen
Problem/Ansatz:
1/m geht gegen 0 für m gegen unendlich und es gilt 1/m kleiner gleich 1 für alle m aus IN
1/n analog
Daraus lässt sich eine Skizze machen:
~draw~ rechteck(0|0 1 1){1};zoom(1) ~draw~
wobei x-Achse Realteil und y-Achse Im.-Teil ist.
Punkt "oben rechts" also (1I1) ist wenn n,m=1
Punkt "unten links" (0I0) ist wenn m, n gegen unendlich laufen.
Nun, diese Fläche repräsentiert M.
Häufungspunkte:
Ich kann m fixieren und den imaginären Teil laufen lassen. Dann wäre doch jedes 1/m ein HP, weil sich für n gegen unendlich die Punkte da häufen, oder?
Ich kann aber auch das gleiche mit n machen (fixieren und m laufen lassen). Das bedeutet dass alle i/n (n aus N) HP sind, oder?
Reicht das? Woher weiß ich, dass das alle HP sind, mathematisch? Ist eine Skizze bei einem Beweis i.O.?
offen:
Dafür müsste ich um jeden Punkt von M eine Epsilon-Umgebung (e>0) legen können, sprich M besteht nur aus inneren Punkten. Wenn ich n,m=1 setze habe ich ein Gegenbeispiel also, ist M schon mal nicht offen.
abgeschlossen:
Im Skript steht: "M heißt abgeschlossen (in C), wenn für jede Folge in M, die
konvergiert, der Limes ebenfalls zu M gehört", heißt das nicht einfach, dass alle HP auch in M sein müssen?
Falls ja, kann ich das so übernehmen von oben und damit ist M abgeschlossen. Sieht man auch an der Skizze, würde die hier als Beweis reichen?
Stimmt das was ich habe?
