Aloha :)
Gegeben:an+1=2+an;a1=2
Wir zeigen zunächst, dass an<2 für alle n∈N gilt.
Induktionsverankerung bei n=1:a1=2<2✓Induktionsschritt:an<2⟹2+an<4⟹2+an<4⟹an+1<2✓
Nun zeigen wir, dass an streng monoton wächst.
Induktionsverankerung bei n=2:a2=2+a1=2+2>2=a1✓
Induktionsschritt:an+1−an=2+an−an=2+an+an(2+an−an)(2+an+an)=2+an+an(2+an)2−(an)2=2+an+an2+an−an2=2+an+an49+(−41+an−an2)=2+an+an49−(an2−an+41)=2+an+an49−(an−21)2>0✓
Wegen an<2 gilt (an−21)<23 und daher gilt (an−21)2<49. Daher ist im letzten Bruch der Zähler stets positiv. Da der Nenner ebenfalls immer postitiv ist, bleibt der gesamte Bruch positiv. Damit haben wir gezeigt, dass an+1−an>0 bzw. an+1>an gilt.
Wir fassen zusammen:2≤an<2fu¨r alle n∈N;an+1>anfu¨r alle n∈NDie Folge (an) ist also beschränkt und streng monoton wachsend, daher ist sie auch konvergent und ihr Grenzwert a liegt zwischen 2 und 2.
Zur Berechnung des Grenzwertes:
a2=n→∞liman+12=n→∞lim(2+an)2=n→∞lim(2+an)=2+a⟹0=a2−a−2=(a+1)(a−2)⟹a=−1∨a=2
Die negative Lösung scheidet aus, sodass gilt:a=n→∞liman=2