Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass (an)n ∈ ℕ monoton wachsend und durch 2 nach oben beschränkt ist.

Question

Aufgabe:

Die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ sei rekursiv definiert durch

$$a_{1}:=\sqrt{2}, \quad a_{n+1}:=\sqrt{2+a_{n}}, n \geq 1$$

a) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ monoton wachsend und durch 2 nach oben beschränkt ist.

b) Begründen Sie, warum der Grenzwert $a=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ existiert und berechnen Sie $a$ mit Hilfe der Grenzwertsätze.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben:$\quad a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\quad;\quad a_1=\sqrt2$

Wir zeigen zunächst, dass $a_n<2$ für alle $n\in\mathbb N$ gilt.

Induktionsverankerung bei $n=1$:$$a_1=\sqrt2<2\quad\checkmark$$Induktionsschritt:$$a_n<2\implies 2+a_n<4\implies\sqrt{2+a_n}<\sqrt4\implies a_{n+1}<2\quad\checkmark$$

Nun zeigen wir, dass $a_n$ streng monoton wächst.

Induktionsverankerung bei $n=2$:$$a_2=\sqrt{2+a_1}=\sqrt{2+\sqrt2}>\sqrt2=a_1\quad\checkmark$$

Induktionsschritt:$$a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n=\frac{(\sqrt{2+a_n}-a_n)(\sqrt{2+a_n}+a_n)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}$$$$\quad=\frac{(\sqrt{2+a_n}\,)^2-(a_n)^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{2+a_n-a_n^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}+a_n-a_n^2\right)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}$$$$\quad=\frac{\frac{9}{4}-\left(a_n^2-a_n+\frac{1}{4}\right)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{\frac{9}{4}-\left(a_n-\frac{1}{2}\right)^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}>0\quad\checkmark$$

Wegen $a_n<2$ gilt $\left(a_n-\frac{1}{2}\right)<\frac{3}{2}$ und daher gilt $\left(a_n-\frac{1}{2}\right)^2<\frac{9}{4}$. Daher ist im letzten Bruch der Zähler stets positiv. Da der Nenner ebenfalls immer postitiv ist, bleibt der gesamte Bruch positiv. Damit haben wir gezeigt, dass $a_{n+1}-a_n>0$ bzw. $a_{n+1}>a_n$ gilt.

Wir fassen zusammen:$$\sqrt2\le a_n<2\quad\text{für alle }n\in\mathbb N\quad;\quad a_{n+1}>a_n\quad\text{für alle }n\in\mathbb N$$Die Folge $(a_n)$ ist also beschränkt und streng monoton wachsend, daher ist sie auch konvergent und ihr Grenzwert $a$ liegt zwischen $\sqrt2$ und $2$.

Zur Berechnung des Grenzwertes:

$$a^2=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}^2=\lim\limits_{n\to\infty}(\,\sqrt{2+a_n}\,)^2=\lim\limits_{n\to\infty}(2+a_n)=2+a\implies$$$$0=a^2-a-2=(a+1)(a-2)\implies a=-1\;\lor\;a=2$$

Die negative Lösung scheidet aus, sodass gilt:$$a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2$$