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Aufgabe:

Die Folge (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} sei rekursiv definiert durch

a1 : =2,an+1 : =2+an,n1 a_{1}:=\sqrt{2}, \quad a_{n+1}:=\sqrt{2+a_{n}}, n \geq 1

a) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} monoton wachsend und durch 2 nach oben beschränkt ist.

b) Begründen Sie, warum der Grenzwert a=limnan a=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} existiert und berechnen Sie a a mit Hilfe der Grenzwertsätze.

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Aloha :)

Gegeben:an+1=2+an;a1=2\quad a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\quad;\quad a_1=\sqrt2

Wir zeigen zunächst, dass an<2a_n<2 für alle nNn\in\mathbb N gilt.

Induktionsverankerung bei n=1n=1:a1=2<2a_1=\sqrt2<2\quad\checkmarkInduktionsschritt:an<2    2+an<4    2+an<4    an+1<2a_n<2\implies 2+a_n<4\implies\sqrt{2+a_n}<\sqrt4\implies a_{n+1}<2\quad\checkmark

Nun zeigen wir, dass ana_n streng monoton wächst.

Induktionsverankerung bei n=2n=2:a2=2+a1=2+2>2=a1a_2=\sqrt{2+a_1}=\sqrt{2+\sqrt2}>\sqrt2=a_1\quad\checkmark

Induktionsschritt:an+1an=2+anan=(2+anan)(2+an+an)2+an+ana_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n=\frac{(\sqrt{2+a_n}-a_n)(\sqrt{2+a_n}+a_n)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=(2+an)2(an)22+an+an=2+anan22+an+an=94+(14+anan2)2+an+an\quad=\frac{(\sqrt{2+a_n}\,)^2-(a_n)^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{2+a_n-a_n^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}+a_n-a_n^2\right)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=94(an2an+14)2+an+an=94(an12)22+an+an>0\quad=\frac{\frac{9}{4}-\left(a_n^2-a_n+\frac{1}{4}\right)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{\frac{9}{4}-\left(a_n-\frac{1}{2}\right)^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}>0\quad\checkmark

Wegen an<2a_n<2 gilt (an12)<32\left(a_n-\frac{1}{2}\right)<\frac{3}{2} und daher gilt (an12)2<94\left(a_n-\frac{1}{2}\right)^2<\frac{9}{4}. Daher ist im letzten Bruch der Zähler stets positiv. Da der Nenner ebenfalls immer postitiv ist, bleibt der gesamte Bruch positiv. Damit haben wir gezeigt, dass an+1an>0a_{n+1}-a_n>0 bzw. an+1>ana_{n+1}>a_n gilt.

Wir fassen zusammen:2an<2fu¨r alle nN;an+1>anfu¨r alle nN\sqrt2\le a_n<2\quad\text{für alle }n\in\mathbb N\quad;\quad a_{n+1}>a_n\quad\text{für alle }n\in\mathbb NDie Folge (an)(a_n) ist also beschränkt und streng monoton wachsend, daher ist sie auch konvergent und ihr Grenzwert aa liegt zwischen 2\sqrt2 und 22.

Zur Berechnung des Grenzwertes:

a2=limnan+12=limn(2+an)2=limn(2+an)=2+a    a^2=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}^2=\lim\limits_{n\to\infty}(\,\sqrt{2+a_n}\,)^2=\lim\limits_{n\to\infty}(2+a_n)=2+a\implies0=a2a2=(a+1)(a2)    a=1    a=20=a^2-a-2=(a+1)(a-2)\implies a=-1\;\lor\;a=2

Die negative Lösung scheidet aus, sodass gilt:a=limnan=2a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2

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