Aloha :)
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Wegen$$f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f(x)$$ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Es gilt also z.B. \(f(-2)=f(2)\) oder \(f(-3)=f(3)\). Wir müssen uns in der Definitionsmenge also entweder für alle \(x\)-Werte \(\ge0\) oder alle \(x\)-Werte \(\le0\) entscheiden, d.h. injektive Abbildungen wären z.B.
$$f:\mathbb R^{\ge0}\to\mathbb R\;,\;f(x)=x^2-1\quad\text{oder}\quad f:\mathbb R^{\le0}\to\mathbb R\;,\;f(x)=x^2-1$$Also \(X=\mathbb R^{\ge0}\) (blauer Zweig) oder \(X=\mathbb R^{\le0}\) (roter Zweig).
~plot~ (x^2-1)*(x>=0) ; (x^2-1)*(x<=0) ; [[-3|3|-1,5|5]] ~plot~
