Funktionsuntersuchung mit Parameterfragen

Question

Aufgabe:

Funktionsuntersuchung mit Parameterfragen Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{a}(x)=a x^{2}+x-\frac{2}{a}, a \in \mathbb{R}, a \neq 0 \)

a) Untersuchen Sie \( f_{\mathrm{a}} \) auf Nullstellen.

b) Bestimmen Sie den Extrempunkt von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) Hängt die Art des Extrempunktes vom Parameter a ab?

c) Skizzieren Sie die Graphen von \( \mathrm{f}_{1} \) und \( \mathrm{f}_{2} \) fur \( -2,5 \leq \mathrm{x} \leq 1,5 \)

d) Für welchen Wert von a haben die Nullstellen von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) den Abstand 2 voneinander?

e) Für welche Werte von a verläuft der Graph von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) durch den Punkt \( \mathrm{P}(1 \mid 0) ? \)

f) Weisen Sie nach: Alle Graphen \( f_{a} \) schneiden die \( y \) -Achse unter dem gleichen Winkel.

g) Fur welchen Wert von a hat \( f_{\mathrm{an}} \) an der Stelle \( x=1 \) die Steigung \( 2 \)?

h) Bestimmen Sie a \( >0 \) so, dass der Inhalt des von \( f_{a} \) und der \( x \) -Achse eingeschlossenen Flaichenstücks den Wert 4,5 hat.

Answer 1

$$f_{a}(x)=a x^{2}+x-\frac{2}{a}, a \in \mathbb{R}, a \neq 0 $$

a)

$$f_{a}(x)= x^{2}+\frac{x}{a}-\frac{2}{a^2}=0$$$$f_{a1}(x)= -\frac{1}{2a}+\sqrt{\frac{9}{4a^2} }$$$$f_{a1}(x)= \frac{1}{a}$$$$f_{a2}(x)= -\frac{2}{a}$$

b)

$$f'_{a}(x)= 2ax+1=0$$

$$x= -\frac{1}{2a}$$ an dieser Stelle ist für a>0 ein Minimum und für a<0 ein Maximum.

$$f''_{a}(x)= 2a$$

c)zeichnen kann ich mit dem Smartphone nicht.

d)

$$d= \frac{1}{a}-( -\frac{2}{a})=2$$$$3=2a$$$$a=\frac{3}{2}$$

e)

$$ \frac{1}{a}=1$$$$a_1=1$$$$ -\frac{2}{a}=1$$$$a_2=-2$$

f)

$$f'_{a}(0)= 2a*0+1=1$$

Der Steigungswinkel beim schneiden der y-Achse beträgt 45°.

g)

$$f'_{a}(1)= 2a*1+1=2$$

$$a=0,5$$

h)

$$f_{a}(x)=a x^{2}+x-\frac{2}{a}$$$$F_{a}(x)=\frac{a}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{a}x$$$$F_{a}(1/a)=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{2a^2}-\frac{2}{a^2}$$$$F_{a}(-2/a)=-\frac{8}{3a^2}+\frac{4}{2a^2}-\frac{4}{a^2}$$$$A=F_{a}(-2/a)-F_{a}(1/a)=$$$$-\frac{3}{a^2}+\frac{3}{2a^2}+\frac{6}{a^2}=4,5$$$$9=9a^2$$$$a=1$$

Comments

Wie kommst du auf 45 grad ich hab dort 71 grad raus.

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Wie hast du die 71° ausgerechnet?

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$$f'_{a}(x)= 2ax+1$$

$$f'_{a}(0)= 1$$

$$arctan 1 =45°$$

Ich habe Aufgabe h auch beantwortet.

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Ich glaube der Steigungswinkel ist nicht gefragt, sondern der Schnittwinkel, dann muss ich doch f(0) von der normalfunktion machen und nicht von der Ableitung oder?

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Nein, f(0) gibt den Funtionswert an der Stelle x =0 an das ist die Stelle an der der Graph die y-Achse schneidet. Der Winkel wird über die Ableitung bestimmt.

Answer 2

Da rechnest mit dem a wie mit einer Zahl.

Also etwa  ax^2 +x -2/a = 0

                 x^2 + x/a - 2/a^2 = 0

pq-Formel x = -1/(2a) ±√ ( 1/(4a^2) + 2/a^2    )

                   = -1/(2a) ±√ ( 1/(4a^2) + 8/(4a^2)  )

                   = -1/(2a) ±√ ( 9/(4a^2)  )

                  = -1/(2a) ±   3/(2|a|)  )

und das dann für die Fälle a<0 und a>0 untersuchen

1. Fall   x=  -1/(2a) ±  3/(-2a)  )

2. Fall   x=  -1/(2a) ±  3/(2a)  )

also beides gleich un d du hast in jedem Fall ( außer a=0)

genau zwei Nullstellen bei -4/2a =  -2/a und bei 2/2a = 1/a

Comments

Danke habe das kapiert und b) hab ich auch aber d) weiß ich nicht wie ich das machen soll.

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Berechne die Differenz der beiden Nullstellen.

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Alles hab das alles jzt kapiert :)

Nur die h) ist für mich zu schwer. Was muss ich da machen?

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Bilde die Stammfunktion und setze das Integral zwischen den beiden Nullstellen = 4,5 und löse nach a auf.