Funktionsuntersuchung mit Parameterfragen ax^2+x-2/a

Question

Aufgabe: 7. Funktionsuntersuchung mit Parameterfragen
Gegeben ist die Funktionenschar \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})=\mathrm{a} \mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}-\frac{2}{\mathrm{a}}, \mathrm{a} \in \mathbb{R}, \mathrm{a} \neq 0 \).
b) Bestimmen Sie den Extrempunkt von \( f_{a} \).
Hängt die Art des Extrempunktes vom Parameter \( a \) ab?
Skizzieren Sie die Graphen von \( \mathrm{f}_{1} \) und \( \mathrm{f}_{2} \) für \( -2,5 \leq \mathrm{x} \leq 1,5 \).
c) Für welchen Wert von a haben die Nullstellen von \( f_{a} \) den Abstand 2 voneinander?
e) Für welche Werte von a verläuft der Graph von \( f_{a} \) durch den Punkt \( P(1 \mid 0) \) ?
f) Weisen Sie nach: Alle Graphen \( f_{a} \) schneiden die \( y \)-Achse unter dem gleichen Winkel.
g) Für welchen Wert von a hat \( f_{a} \) an der Stelle \( x=1 \) die Steigung 2?
h) Bestimmen Sie \( a>0 \) so, dass der Inhalt des von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) und der \( \mathrm{x} \)-Achse eingeschlossenen
Flächenstücks den Wert 4,5 hat.

Problem/Ansatz:

Alleine bei der a scheitere ich schon, da fa(x)=0 gesetzt…

0=ax^2+c-2/a

ist. Ich kann weder x noch xa ausklammern, noch  pq Formel oder Substitution anweden. Kenne ich eine Regel nicht?

Ich stoße seit gestern die ganze Zeit auf Aufgaben wie diese, wo nicht  bei allen Zahlen ein x oder a gegeben ist, sodass ich nicht weiterkomme.

Answer 1

Hallo

ax^2+x− 2/a wie kommt man da auf 0=ax^2+c-2/a

aber mit der pq Formel kann man immer rechnen:ax^2+x− 2/a =0|:a

x^2 +1/a*x-2/a^2=0 pq Formel p=1/a q=-2/a^2

mit a kann man rechnen wie mit einer Zahl. (wenn dir das sehr schwer fällt rechne mit einer krummen Zahl aber lass die Zwischenergebnisse stehen , z.B. a=1,73, dann hast due x^2+1/(2*1,73)*x-2/1,73^2=0 jetzt ohne TR mit den Zahlen rechnen, am Ende 1,73=a

Wenn du die 2 Nullstellen hast, hast du auch gleich eine Kontrolle für b, denn der Scheitel einer Parabel ist immer genau in der Mitte der 2 Nullstellen .

Gruß lul

Comments

Ich dachte, man kann mit der Pq formel nur dann rechnen, wenn man auch x^3 hat, also bei allen Zahlen ein x. Also muss das nicht sein?

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Hallo

pq Formel sicher nicht mit x^3

also x^2+px+q=0

bei q steht kein x! p und q können Zahlen sein, oder Ausdrücke, die Zahlen als Parameter beschreiben also p kann wie bei dir 1/a sein oder 27 oder 12a oder ...

Gruß lul

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super, danke dir

Answer 2

b) f ' (x) = 2ax+1

==>  f ' (x)=0 <=> 2ax=-1   <=>  x = -1/(2a)

f ' ' (x) = 2a also Min bei x=-1/(2a) für a > 0 und Max für a<0.

Answer 3

Nullstellen:

\( f(x)=a x^{2}+x-\frac{2}{a} \)
\( a x^{2}+x-\frac{2}{a}=0 \)
\( a x^{2}+x=\frac{2}{a} \)
\( x^{2}+\frac{x}{a}=\frac{2}{a^{2}} \)
\( \left(x+\frac{1}{2 a}\right)^{2}=\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}} \)
\( x_{1}=-\frac{1}{2 a}+\sqrt{\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}} \)
\( x_{2}=-\frac{1}{2 a}-\sqrt{\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}} \)

Comments

c) Für welchen Wert von a haben die Nullstellen von \( f_{a} \) den Abstand 2 voneinander?

\(x_{1}=-\frac{1}{2 a}+\sqrt{\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}} \)

\(x_{2}=-\frac{1}{2 a}-\sqrt{\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}} \)

\( -\frac{1}{2 a}+\sqrt{\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}}-\left(-\frac{1}{2 a}-\sqrt{\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}}\right)=2 \)
\( -\frac{1}{2 a}+\sqrt{\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}}+\frac{1}{2 a}+\sqrt{\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}}=2 \)
\( \sqrt{\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}}+\sqrt{\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}}=2 \)
\( \sqrt{\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}}=1 \)
\( \frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{4 a^{2}}=1 \mid \cdot 4 a^{2} \)
\( a_{1}=\frac{3}{2} \)
\( =\frac{3}{2} \)

Answer 4

Hallo,

hier noch die Skizze zu b)

c) Für welchen Wert von a haben die Nullstellen von \( f_{a} \) den Abstand 2 voneinander?

Berechne die Nullstellen:

\(ax^2+x-\frac{2}{a}=0\\ x^2+\frac{x}{a}-\frac{2}{a^2}=0\\ x_{1,2} = -\left(\frac{1}{2a}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{1}{2a}\right)^{2}+\frac{2}{a^2}}\\ x_{1,2} = -\left(\frac{1}{2a}\right) \pm \sqrt{ \frac{9}{4a^2}}\\ x_{1,2} = -\left(\frac{1}{2a}\right) \pm \frac{3}{2}\\ x_1=-\frac{2}{a}\quad x_2=\frac{1}{a}\)

Abstandsrechnung:

\(|-\frac{2}{a}|+\frac{1}{a}=\frac{3}{a}\\\frac{3}{a}=2\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)

e) Für welche Werte von a verläuft der Graph von \( f_{a} \) durch den Punkt \( P(1 \mid 0) \) ?

Setze 1 für x und 0 für f(x) in die Gleichung ein und löse nach a auf.

\(a+1-\frac{2}{a}=0\\ a_1=-2\quad a_2=1\)

f) Weisen Sie nach: Alle Graphen \( f_{a} \) schneiden die \( y \)-Achse unter dem gleichen Winkel.

Berechne f'(a) für x = 0 (Schnittpunkt mit der y-Achse)

\(f'_a(0)=1\)

Da die Steigung in dem Punkt immer gleich ist, ist das auch der Winkel.

g) Für welchen Wert von a hat \( f_{a} \) an der Stelle \( x=1 \) die Steigung 2?

Setze \(f'_a(1)=2\) und löse nach a auf.

\(2a\cdot 1+1=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)

h) Bestimmen Sie \( a>0 \) so, dass der Inhalt des von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) und der \( \mathrm{x} \)-Achse eingeschlossenenFlächenstücks den Wert 4,5 hat.

Bilde die Stammfunktion und berechne das Integral zwischen den beiden Nullstellen. Setze dein Ergebnis = 4,5 und löse nach a auf. Ich erhalte a = 1

Gruß, Silvia