x²+x-2 stetigkeit nachweisen...

Question

Ich muss von der Funktion f(x) = x²+x-2 die Stetigkeit auf 2 verschiedene Weisen nachweisen:

i) lim_{(n=>unendlich)} f(x_n) = f(x)

ii) Epsilon-Delta Kriterium

 

Bei (ii) weiß ich einfach nicht, wie ich das anwenden soll. Ich verstehe einfach nicht, was ich mir wie vorwählen darf....

Und zu (i) :

Wie komme ich von lim_{(n=>unendlich)} f(x_n) = lim_{(n=>unendlich)} x_n²+x_n-2 zu f(x) = x²+x-2 ??? Oder wende ich das falsch an?

Comments

ii) habe ich mittlerweile geschafft, aber hat jemand eine Idee für i)?

Ich verstehe die Definition wirklich nicht und weiß daher auch nicht, wie ich das anwenden soll. Im Internet finde ich dazu nichts.

Answer 1

i) Es ist zu zeigen, dass für alle x ∈ ℝ und alle Folgen (x_n )_n∈ℕ  mit x_n ∈ ℝ und

$$\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=x$$ gilt

$$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_{n})=f(x)$$

Mit Anwendung der Grenzwertsätze für konvergente Folgen sowie der Voraussetzung folgt nun

 $$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_{n})= \lim\limits_{n\to\infty}(x_{n}^{2}+x_{n}-2)= \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}+\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}-2 = x*x + x - 2 = x^{2}+x-2 = f(x)$$

und damit die Stetigkeit von f(x).