Für welchen Winkel wird der Flächeninhalt des Rechtecks ein Maximum? (Rechteck in Kreissektor - Extremwertaufgabe)

Question

Aufgabe:

Einem Kreissektor mit dem Öffnungswinkel omega und dem Radius r ist ein Rechteck derart einzuschliessen, dass genau drei der vier Eckpunkte des Rechtecks auf den beiden Radien liegen, die den Kreissektor begrenzen.

a) Für welchen Winkel lambda wird der Flächeninhalt A des Rechtecks ein Maximum?

(Lösung: omega/2 )

b) Wie groß ist dieser Flächeninhalt für r = 10 cm und omega = 40°?

Answer 1

a) Für welchen Winkel lambda wird der Flächeninhalt A des Rechtecks ein Maximum ? (Lösung: omega/2)

a = Lambda
b = Omega

r·SIN(a)/x = TAN(b)
x = r·SIN(a)·COT(b)

A = (r·COS(a) - r·SIN(a)·COT(b))·(r·SIN(a)) = r^2·(SIN(a)·COS(a) - SIN(a)^2·COT(b))

A' = 2·COS(a)^2 - 2·SIN(a)·COS(a)·COT(b) - 1 = 0

Ich lasse das mal von Wolramalpha lösen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+2·COS%28a%29%5E2+-+2·SIN%28a%29·COS%28a%29·COT%28b%29+-+1+%3D+0+for+a

a = b/2

b)  Wie groß ist dieser Flächeninhalt für r = 10 cm und omega = 40° ?

A = r^2·(SIN(a)·COS(a) - SIN(a)^2·COT(b))
A = 10^2·(SIN(20°)·COS(20°) - SIN(20°)^2·COT(40°)) = 18.20 cm^2