Zeigen Sie: Die Summe der Kehrwerte ist n.

Question

Hallo, ich bin bei dieser etwas verwirrt und komme einfach nicht weiter:

Sei n eine natürliche Zahl. Man nehme alle nichtleeren Teilmengen der Zahlen von 1bis n. Für jede dieser Teilmengen bilde man das Produkt aller Elemente und nehme den Kehrwert. Zeigen Sie: Die Summe der Kehrwerte ist n.

Ich wäre über eine Antwort sehr dankbar!

Answer 1

Vielleicht geht das mit vollständiger Induktion.

(Die leere Menge lasse ich weg.)

1 → {1} → 1/1=1

2 → {1},{2},{1,2} → 1+1/2+1/2=2

...

:-)

Answer 2

Vollständige Induktion

Ind. Anfang

$$n=1$$

$$1/1=1$$

Ind Annahme

$$S(Kw(n))=n$$

$$S(Kw(n+1))= n + n/(n+1)+ 1/ (n+1)=$$$$(n+1)*(n+1)/(n+1)=n+1$$

Ind. Schluss

In Worten:

Es gibt

 $$(2^n -1 ) $$

Teilmengen der Zahlen 1 bis n.

Bilden wir jeweils das Produkt der Elemente dieser Teilmengen, so beträgt die Summe ihrer Kehrwerte laut Annahme n.

Wenn nun eine weitere Zahl (n+1) dazu kommt. Dann haben wir immer noch diese

$$(2^n-1) $$

Teilmengen, doch dazu kommen noch mal

$$(2^n-1)$$Teilmengen, in denen zusätzlich ein (n+1) steht. Die Summe dieser Kehrwerte der Produkte beträgt nach dem DISTRIBUTIVGESETZ

n/(n+1) dazu kommt noch der Kehrwert der einelementigen Teilmenge (n+1), also 1/(n+1), was zu obigen Schluss führt.