Die mir bekannten Eigenschaften von Relationen sind:
Reflexiv: Alle Elemente stehen in Relation zu sich selbst
Symmetrisch: Wenn ein Element X in Relation zu einem Element Y steht, dann steht auch Y in Relation mit X
Transitiv: Wenn ein Element X in Relation zu einem Element Y steht und das Element Y in Relation zu einem Element Z, dann steht X auch in Relation zu Z
Antisymmetrisch: Wenn ein Element X in Relation zu einem Element Y steht,dann steht Y nicht in Relation zu X
Mich verwirrt jetzt nur leicht die Definition von Antisymmetrisch:
\( \forall a, b \in A: a R b \wedge b R a \Rightarrow a=b \)
Warum a = b? Warum kann man nicht schreiben xRy => nicht yRx (Habe leider kein Negationszeichen auf meiner Tastatur)
Jetzt habe ich Folgendes im Skript meines Professors gefunden:
Eine zweistellige Relation \( \mathrm{R} \) auf der Menge A heißt asymmetrisch. falls gilt \( \forall x \in A, \forall y \in A ; x R y \Rightarrow \neg y R x \)
Beispiel:
$$ \text { Sei } A=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\} $$
Eine asymmetrische Relation auf A
\( R=\left\{\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(a_{3}, a_{1}\right)\right\} \)
Was bedeutet jetzt asymmetrisch genau? Ich finde diesen Begriff nirgendwo außerhalb vom Skript. Vor allem scheint es mir dasselbe zu sein wie Antisymmetrisch.
Bedeutet asymmetrisch einfach nur, dass es keine Symmetrie gibt, und antisymmetrisch, dass es eine Symmetrie geben kann, wenn jedes Element auf sich selbst zeigt?
Also in der Richtung R ={(a,a),(b,b),(c,c)}
