Question

Aufgabe:Wie bestimme ich Lösung für in-/homogene LGS?

$$\begin{pmatrix} 5 & 3 & 4 & 32 &0\\ 7 & 4&8&46&0 \\ 12&7& 12&78&0 \\ 14&8&16&92&0\end{pmatrix}$$ 

alle Lösungen dafür bestimmen

2.Aufgabe ist Ähnlich aussieht, die letzte Spalten sind nicht mehr alle 0, sondern alle gleich 1 ist, ist eine inhomogene LGS, ich habe wieder unendliche Lösung oder habe ich falsch gerechnet.

Problem/Ansatz:

ich weiss, dass diese LGS unendlich Lösungen rauskommt, da rg(A)=rg(A I b) kleiner als n,also 3 kleiner als 5

Frage ist, wie soll ich Lösungen geben, vielleicht in Abhängigkeit von Parameter oder wie sit die Aufgabe gemeint

MfG

Malik

Answer 1

Aloha :)

Ich mache die Lösung für die $1$-er Ergebis-Spalte vor. Die $0$-er Ergebnis-Spalte kriegen wir dann automatisch mit, weil sich eine $0$-er Ergebnis-Spalte bei elementaren Zeilen-Operationen nicht ändert.

$$\begin{array}{rrrrrrl}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = && \text{Aktion}\\\hline5 & 3 & 4 & 32 & 1 &&\\7 & 4 & 8 & 46 & 1 && -\text{Zeile 1}\\12 & 7 & 12 & 78 & 1 && -\text{Zeile 4}\\14 & 8 & 16 & 92 & 1 && -2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline5 & 3 & 4 & 32 & 1 &&\\2 & 1 & 4 & 14 & 0 && \\-2 & -1 & -4 & -14 & 0 && \\0 & 0 & 0 & 0 & -1 &&\\\hline \end{array}$$

Wir sehen hier sofort, dass die 2-te Aufgabe tatsächlich keine Lösung hat, denn die letzte Zeile liefert eine Gleichung, die nie erfüllt werden kann:$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3+0\cdot x_4=-1\quad\implies\quad 0=1$$Damit ist die 2-te Aufgabe erledigt und wir brauchen nur noch die $0$-er Ergebnis-Spalte weiter zu betrachten. In unserer bisherigen Lösung ändern wir daher die Ergebnis-Spalte zu $0$. Dann wird die gerade betrachtete Gleichung zu $0=0$, ist also immer erfüllt.

$$\begin{array}{rrrrrrl}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = && \text{Aktion}\\\hline5 & 3 & 4 & 32 & 0 && +2\cdot\text{Zeile 3}\\2 & 1 & 4 & 14 & 0 && +\text{Zeile 3} \\-2 & -1 & -4 & -14 & 0 && \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 && \text{streichen}\\\hline1 & 1 & -4 & 4 & 0 && \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 && \text{streichen} \\-2 & -1 & -4 & -14 & 0 &&+2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 1 & -4 & 4 & 0 && -\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -12 & -6 & 0 &&\\\hline1 & 0 & 8 & 10 & 0 && \\0 & 1 & -12 & -6 & 0 &&\\\hline\end{array}$$

Mehr Nullen können wir nicht generieren und lesen ab:$$x_1+8x_3+10x_4=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_1=-8x_3-10x_4$$$$x_2-12x_3-6x_4=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=12x_3+6x_4$$Damit können wir die unendlich vielen Lösungen wie folgt angeben:

$$\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8x_3-10x_4\\12x_3+6x_4\\x_3\\x_4\end{array}\right)=x_3\left(\begin{array}{r}-8\\12\\1\\0\end{array}\right)+x_4\left(\begin{array}{r}-10\\6\\0\\1\end{array}\right)$$

Comments

Hallo

Danke für Ihre Komment, ich habe bei 0 te  5 3 4 32 0 als erste Zeile und 0 -1 12 6 0 als zweite Zeile, dritte und vierte habe ich alle Null, bin irgendwie falsch gemacht oder? Ich habe 2,3,4 te Zeile alle 5 mal multipulizieren und dann minus jeweils erste Zeile.

MfG

Malik

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Hallo nochmal

für spezielle Lösung habe ich -22 30 -3 1 bekommen, bin aber nicht sicher, ob es richtig ist.

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Oha, da hast du dich irgendwie verlaufen. Du kannst meine Umformungen für den Fall der Null-Spalte im Ergebnis direkt übernehmen.

Ich mache solche Berechnungen gerne mit Excel, sonst passieren mir auch zu viele Fehler.

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Wegen der letzten Koordinate in deiner Lösung muss bei mir $x_4=1$ und $x_3=0$ sein. Dann ist die Lösung aber $(-10;6;0;1)$.

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Sie haben recht, -10 6 0 1 passt richtig gut.

Danke, ich gucke mal noch meine Vorgang.