Äuquiv Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

Question

Aufgabe:

Sei (G, ·, e) ein Tripel bestehend aus einer Menge G, einer Verknüp- fung · auf G und einem Element e ∈ G. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Das Tripel (G, ·, e) is eine Gruppe.
(ii) Es gelten
(1) a·(b·c)=(a·b)·cfürallea,b,c∈G.
(2) e·a=afürallea∈G.
(3) Zujedema∈Gexistierteinb∈Gmitb·a=e

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Wir müssen nur zeigen, dass das neutrale Element \(e\) und das inverse Element \(a'\) auch von rechts mit der gewünschten Wirkung multipliziert werden kann. Nach Voraussetzung gilt bereits:$$ea=a\quad;\quad a'a=e$$

Darauf bauen wir auf und zeigen zunächst, dass \(a'\) auch rechts-invers ist. Zu \(a'\) selbst gibt es ein links-inverses Element \(a''\), sodass \(a''a'=e\). Daher gilt:$$aa'=e(aa')=(a''a')(aa')=a''(a'(aa'))=a''((a'a)a')=a''(ea')=a''a'=e\quad\checkmark$$

Nun zeigen wir, dass das neutrale Element \(e\) auch rechts-neutral ist und verwenden dazu die gerade gezeigte Rechtsinversität des inversen Elementes:$$ae=a(a'a)=(aa')a=ea=a\quad\checkmark$$

Comments

die antwort für (i) oder(ii) ??

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Ich habe \((ii)\implies(i)\) gezeigt. Die andere Richtung ist ja klar, weil die Standard-Definition einer Gruppe die Rechts-Inversität und Rechts-Neutralität bereits enthält.

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UND (1) UND (2) UND (3) ?

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(1) ist das Assoziativ-Gesetz, das ist in einer Gruppe genauso definiert.

Bei (2) und (3) habe ich doch vorgeführt, warum das zur Existenz des Inversen und Existenz den Neutralen aus der Standard-Definition äquivalent ist.

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sehr gut ich danke Ihnen