Gelte \( P\left(A_{i}\right)>0 \) für alle \( i \in I \) mit einer abzählbaren Indexmenge \( I \). Zeigen Sie, dass dann die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) \( \left(A_{i}\right)_{i \in I} \) sind unabhängig.
(ii) Für alle endlichen, nichtleeren Teilmengen \( J_{1}, J_{2} \subseteq I \) mit \( J_{1} \cap J_{2}=\emptyset \) gilt
\( P\left(\bigcap_{j_{1} \in J_{1}} A_{j_{1}} \mid \bigcap_{j_{2} \in J_{2}} A_{j_{2}}\right)=P\left(\bigcap_{j_{1} \in J_{1}} A_{j_{1}}\right) \)
Für (ii) \( \Rightarrow \) (i) bietet sich vollständige Induktion nach \( n=|J| \) an.
