Wie beweist man, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind?

Question

Seien a,b,a',b' Mengen. Wie zeige ich, dass die folgende Aussagen äquivalent sind?

1) {{a,b},{a}}={{a',b'},{a'}}

2) a=a' und b=b'

Answer 1

Sei  {{a,b},{a}}={{a',b'},{a'}}

==>  Jedes Element von links ist auch rechts drin

==>  {a} ={a',b'}  oder   {a} ={a'}

Da in der einen Menge 2 El. und in der anderen nur eines ist,

kann  {a} ={a',b'}  nicht sein, also   {a} ={a'}

und damit a= a' .

Nun muss aber auch gelten ( da {a,b} aus der

linken Menge ist )

{a,b} ={a',b'}  oder   {a,b} ={a'}

Hier kann {a,b} ={a'} nicht sein, also {a,b} ={a',b'}  dann gilt wegen  {a} ={a'}{a,b}   \   {a} ={a',b'}  \   {a ' }also  {b} ={,b'} und damit b = b' .Umgekehrt ist es sogar noch was leichter, dassgilt   aus 2)  folgt 1) .

Comments

wann gilt in 2) Gleichheit?

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...  kann  {a} ={a',b'}  nicht sein

Das ist wohl etwas zu voreilig.