Aufgabe:
Seien U1, · · · , Un Untervektorräume eines K-Vektorraums V . Dann ist auch
U := U1 + · · · + U_n := {u_1 + · · · + u_n|u_j ∈ U_j ∀j ∈ {1, · · · , n}}
ein Untervektorraum von V . Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind
a) Ist u_1 + · · · + u_n = 0 mit uj ∈ Uj , so folgt u_j = 0 ∀j ∈ {1, · · · , n}.
b) ∀u ∈ U ist die Darstellung u = u1 + · · · + u_n mit u_j ∈ U_j eindeutig.
c) Es gilt U_i ∩ (U_i+1 + · · · + U_n) = {0} ∀i ∈ {1, · · · , n − 1}.
Zeigen Sie dann anhand eines Gegenbeispiels, dass die obigen Bedingungen für n > 2
im Allgemeinen nicht äquivalent zu U_1 ∩ · · · ∩ U_n = {0} sind.
