Wie beweisen, dass x hoch 5 sattepunkt hat

Question

Aufgabe:

Aufgabe x⁵

f'(x) =  5x⁴

f''(x) = 20x³

f''(x) = 60x²

Problem/Ansatz:

Wie kann man rechnerisch zeigen, dass es bei x5 ein Sattelpunkt/Wendepunkt gibt. Die erste Ableitung ist gleich 0 , die zweite und dritte ebenfalls. Vorzeichenkriterium funktioniert auch nicht.

Answer 1

Aloha :)

Du bist fast da... einfach so lange ableiten, bis die Ableitung ungleich null wird:

$$f^{(4)}(x)=120x$$$$f^{(5)}(x)=120$$

Die erste Ableitung, die für \(x=0\) ungleich null ist, ist die 5-te. Da \(5\) ungerade ist, liegt bei \(x=0\) ein Wendepunkt vor.

Comments

Kann man es auch mit dem VZW Kriterium machen in dem man dies bei der ersten Ableitung anwendet?

Ein Wert vor 0 und ein Wert nach 0 einsetzen und schauen wie die Steigung da ist.

-1 = 5

0 = 0

1 = 5

Wäre das auch eine Möglichkeit um zu beweisen, dass es bei x= 0 ein sattelpunkt gibt

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Nicht ganz. An einem Wendepunkt ändert sich ja die Krümmung der Kurve und darüber gibt die zweite Ableitung Auskunft.

$$f''(x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad\text{links gekrümmt}$$$$f''(x)<0\quad\Longleftrightarrow\quad\text{rechts gekrümmt}$$

Die zweite Ableitung muss also kurz vor und kurz hinter dem Wendepunkt ihr Vorzeichen wechseln.

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Achso ok, aber kann ich bei diesem Beispiel jetzt die zweite Ableitung nehmen und das VZW-Kriterium anwenden?

-1 , 0 und 1 in die zweite Ableitung eingesetzt ergibt:

-1 = -20

0 = 0

1 = 20

-> Diese Werte geben nur die Krümmung an , nicht die Steigung also?

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Eine Kurve kann auch steigen oder fallen, ohne eine Krümmung zu haben. Das betrifft z.B. alle Geraden. Über die Steigung selbst gibt die erste Ableitung Auskunft. Wenn sich die Steigung ändert, hast du ein Minimum oder ein Maximum. Über die Krümmung gibt die zweite Ableitung Auskunft. Wenn sich die Krümmung ändert, hast du einen Wendepunkt.

Für \(y=x^5\) haben wir:$$y'=5x^4\quad;\quad y''=20x^3$$Die zweite Ableitung wird \(0\) für \(x=0\). An diesem Punkt ist die Kurve also nicht gekrümmt. Setzt du nun \(x=-1\) ein, bekommst du \(y''(-1)=-20\), die Kurve ist also rechtsgekrümmt. Setzt du \(x=1\) ein, bekommst du \(y''(1)=20\), die Kurve ist also linksgekrümmt. Am Punkt \(x=0\) hat sich die Krümmung der Kurve also umgekehrt.

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Okay ich denke ich habe das nun verstanden.

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An diesem Punkt ist die Kurve also nicht gekrümmt

Der Begriff 'Krümmung' macht wohl nur für ein Intervall Sinn.