Stammfunktion bilden e funktionen

Question

Aufgabe:

Stammfunktion bilden

Problem/Ansatz:

Hallo, ich muss aus (x-4)×e^x eine Stammfunktion bilden jedoch komme ich nur auf falsche ergebnisse. Mein Lehrer kam auf (x-5)×e^x jedoch versteh ich nicht wie. Ich wäre wenn es mir jemand einfach und leicht verständlich erklären könnte

LG

Answer 1

Aloha :)

Obwohl du anscheinend nur selten Antworten bewertest, möchte ich dich nicht im Regen stehen lassen. Die Integration führst du hier am besten mit partieller Integration durch:

$$\int\underbrace{(x-4)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}\,dx=\underbrace{(x-4)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}-\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\,dx=(x-4)\cdot e^x-e^x=(x-5)\cdot e^x$$

Comments

Hallo, entschuldige :( ich werde das in zukunft machen. Danke für die Antwort aber wieso ergibt (x-4)×e^x-e^x=(x-5)×e^x ? Woher kommt die 5 ich versteh es nicht :((

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Oh, da war ich wohl zu schnell, ich hatte die Klammer im Kopf ausgerechnet, das einsame \(e^x\) subtrahiert und dann die Klammer wieder gesetzt:

$$\phantom{=}(x-4)\cdot e^x-e^x$$$$=x\cdot e^x-4\cdot e^x-e^x$$$$=x\cdot e^x-5\cdot e^x$$$$=(x-5)\cdot e^x$$

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Ich verstehe immer noch nicht wie du auf -5 gekommen bist :( sorry bin so eine niete in mathe. Wieso wurde 1 subtrahiert von der -4 ?

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\(\phantom{=}(x-4)\cdot e^x-e^x\) = x • \( e^{x} \)  - 4  • \( e^{x} \) -  \( e^{x} \) =

=  x • \( e^{x} \)  - 4  • \( e^{x} \) - \( e^{x} \)

=  x • \( e^{x} \)         - 5  •  \( e^{x} \)

Oder so:

=  x • \( e^{x} \)  - 4  •  \( e^{x} \) - 1  •  \( e^{x} \)  =

 =  x • \( e^{x} \) - \( e^{x} \) •  (4+1) =

=  x • \( e^{x} \) - \( e^{x} \) •  5 =

= x • \( e^{x} \) - 5 • \( e^{x} \)

mfG

Moliets

Answer 2

Die partielle INtegration ist wohl die
beste Vorgehensweise.
Man kann auch anders vorgehen.
Eine e-Funktion muss aus einer e-Funktion
in der Stammfunktion entstanden sein.
( x - 4 ) * e^x
versuchsweise lete ich ab
x * e^x - 4e^x
( 4 * e^x) abgeleitet = 4 * e^x
produktregel
(x * e^x ) ´=  1 * e^x + x * e^x
Das Ergebnis der Ableitung einer Stammfunktion
soll aber nur x * e^x betragen. Also muß ich
1 * e^x entfernen
Stammfunkion
( x * e^x - e^x ) ` = e^x + x * e^x - e^x = x * e^x
Jetz beide Ableitungen zusammenfassen
( x * e^x - e^x - 4e^x ) = ) x * e^x - 5 * e^x)
e^x * ( x - 5 ) Stammfunktion
[ e^x * ( x - 5 ) ] ´  = e^x * ( x - 4 )