Integralberechnen mit spezieller Funktion

Question

Aufgabe:

Ich muss dieses Integral berechnen und die Fläche davon berechnen.

f) \( \int \limits_{0}^{3}\left(x^{2}-4 x+3\right) \) dx (Flächen unterhalb der x-Achse bzw. \( \left.f(x)<0\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich schaffe es irgendwie nicht. Ich komme auf 0, aber mein Professor kommt auf 8/3 FE.

Comments

Das steht bei seiner Aufgabenstellung.

f) \( \int \limits_{0}^{3}\left(x^{2}-4 x+3\right) \) dx (Flächen unterhalb der x-Achse bzw. \( \left.f(x)<0\right) \)

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So sieht die Lösung des Professors aus:

f) \( \quad A=\left|\int \limits_{0}^{1}\left(x^{2}-4 x+3\right) d x\right|+\left|\int \limits_{1}^{3}\left(x^{2}-4 x+3\right) d x\right|=\left|\frac{4}{3}\right|+\left|-\frac{4}{3}\right|=\frac{8}{3} \) FE

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Wie ihr sehen könnt ist mein Professor sehr oft sehr unschlüssig, wie er seine Aufgaben definieren sollte. Deshalb lässt er es an uns aus, dass wir herumprobieren. ;)

Also wir gehen davon aus, dass wir hier die Fläche berechnen müssen, weil hier die Fläche gesucht ist in der Lösung. Ich habe meine Stammfunktion und dann muss ich die Intervalle von 1 bis 3 nehmen, da dies die Nullstellen sind. Das habe ich auch selber schon soweit hingekriegt. Aber meine Frage war, weshalb er von 0 bis 3 macht? Was ist der Sinn dahinter?

Answer 1

Wenn der Inhalt der Flächen zwischen Kurve und x-Achse gesucht ist:

Du musst erst die Nullstellen von f(x)=x^2-4x+3 bestimmen, dann von Nullstelle zu Nullstelle integrieren, von jedem Integral den Betrag nehmen und dann addieren.

Die Nullstellen liegen bei 1 und 3. Deshalb wird die Rechnung aufgeteilt.

Wenn du von 0 bis 3 integrierst, heben sich Flächen ober- und unterhalb der x-Achse zum Teil auf, in deiner Rechnung sogar vollständig.

:-)

Comments

Wenn aber die Fläche unterhalb der x-Achse berechnet werden soll, fällt dann nicht die Fläche von 0 bis 1 weg?

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Hallo Silvia,

ich bin von des Professors Rechnung ausgegangen.

:-)

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OK, ich vom Aufgabentext ;-)

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@Silvia

Eine schöne Adventszeit wünsche ich dir.

:-)

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@Monty

Danke, die wünsche ich dir auch (und selbstverständlich auch allen anderen, die das lesen). Schön, dass du in der Lounge geblieben bist.

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Schön, dass du in der Lounge geblieben bist.

Danke.

:-)

Answer 2

Stammfunktion ist: F(x)=\( \frac{1}{3} \)x^{3}-2\( x^{2} \)+3x+C

Comments

Ja, das habe ich auch schon.

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Du musst das Integral bei 1 aufteilen da dort eine Nullstelle mit Vorzeichen Wechsel liegt

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Zwischen 0 .. 1 ist die Funktion oberhalb
der x-Achse
A = + 4/3

Zwischen 1..3 ist die Funktion
unterhalb der x-Achse.
A = - 4/3

Mal wird in der Fragestellung nach dem
Integral 0..3 gefragt = 0

Mal wird nur nach der Fläche unterhalb
der x-Achse 1..3 gefragt.

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Bist leider doch meiner Ansicht. Hast es sogar selbst geschrieben. Wenn die Funktion zwischen 0 und 1 oberhalb der x-Achse ist und zwischen 1 und 3 unterhalb der x Achse dann muss wohl bei 1 eine Nullstelle mit VZ Wechsel sein

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Also muss man das immer bei solchen Berechnungen machen? Wenn man die Fläche zweier Graphen berechnen muss, muss man dann immer von 0 bis zur Nullstelle und von dort dann von der Nullstelle zur anderen Nullstelle integrieren?

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Zumindest nachschauen ob Nullstellen
vorhanden sind.

Am einfachsten ist es meist die beiden
Funktionen plotten zu lassen um den
Überblick zu bekommen

Was ist die Rechenaufgabe. Beispiel
Wechselstrom
- integral sin ( x ) zwischen 0 und 2*Pi
= 0

Wenn die Arbeit des Stroms berechnet
werden soll
- integral sin ( x ) zwischen 0 und Pi
als Betrag
plus
- integral sin ( x ) zwischen Pi und 2Pi
als Betrag

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Also muss man das immer bei solchen Berechnungen machen? Wenn man die Fläche zweier Graphen berechnen muss, muss man dann immer von 0 bis zur Nullstelle und von dort dann von der Nullstelle zur anderen Nullstelle integrieren?

Hallo Atorian,

hast du dir meine Antwort angeguckt?

Gruß

Monty

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Ich schaue sie mir gleich an. So viele haben geantwortet. Ich habe die Übersicht verloren. :D

Answer 3

Hallo
bitte schreib deine Stammfunktion hin, und wie du einsetzt.
Das Integral ist wirklich 0 aber wenn die Frage nach der Fläche zwischen Graph und x- Achse war, dann musst du die Nullstellen berechnen , zwischen den Nullstellen ist das Integral negativ, um die Fläche zu bestimmen braucht man davon den Betrag.
Also was war gefragt? Integral oder Fläche?

Gruß lul