Hallo,
\(f : [0;\infty) \rightarrow \mathbb{R},\text{ } f(x) =\sqrt{x} \)
zu zeigen: f stetig in x0 ∈ [0,∞) , also
\(\forall\text{ } ε∈ℝ^+\text{ }\ \exists \text{ }\delta ( x_0, ε ) \text{ }\text{ }\forall x\in [0, \infty):\text{ } |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| <ε\)
1. Fall x0 ≠ 0
Sei ε ∈ ℝ+ fest aber beliebig.
Wählt man \(\delta=\delta(x_0,ε)=\color{blue}{ε·\sqrt{x_0}}\) [vgl. unten]
dann gilt für |x-x0| < \(\delta\)
\(|f(x)-f(x_0)| = |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| \)
\(= \left|\dfrac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right| = \dfrac{|x-x_0|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} < \dfrac{\delta}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \le \color{blue}{\dfrac{\delta}{\sqrt{x_0}}} = ε\)
2. Fall x0 = 0
Sei ε ∈ ℝ+ fest aber beliebig.
Wählt man \(\delta(ε) = \color{blue}{ε^2}\) [vgl. unten]
dann gilt für |x-x0| = |x| < \(\delta\)
\(|f(x)-f(0)| = |\sqrt{x}| = \sqrt{x} =\sqrt{|x|} < \color{blue}{\sqrt{\delta}= ε} \)
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Nachtrag: wenn man einen solchen Beweis "live" anfertigt, kann man bei "Wählt man \(\delta = ... \)" den Term zunächst weglassen und nach Ende der Abschätzung nachtragen. Der Beweis liest sich in der angegeben Reihenfolge leichter verständlich.
Gruß Wolfgang
