Hallo,
... aber ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll
Ist im Falle von (1.) auch etwas aufwendig. Wenn es nämlich eine Linearkombination dreier Vektoren im \(\mathbb R^4\) gibt, mit denen ein vierter dargestellt werden kann, so bedeutet dies, dass diese vier Vektoren linear abhängig sind. Und da hier 5 Vektoren gegeben sind, gibt es dafür 4 aus 5 macht 5 Möglichkeiten.
Dazu fallen mir zwei Verfahren ein. Einmal die durchsichtige - aber dafür rechenintensive - Variante bei der alle Determinaten aller 5 Möglichkeiten berechnet werden: $$\begin{array}{ccccc}v_1& v_2& v_3& v_4& v_5& v_1& v_2& v_3\\ \hline 1& 4& 3& 2& 1& 1& 4& 3\\ 1& 4& 4& 3& 0& 1& 4& 4\\ 1& 0& 2& 1& 0& 1& 0& 2\\ 1& 0& 1& 1& 0& 1& 0& 1\\ \hline 4& -4& -2& 0& 4& & & \end{array}$$in der letzten Zeile steht jeweils die Determinante der Matrix, die sich aus der darüber stehenden Spalte und den drei folgenden Spalten ergibt. Dies bietet sich an, wenn man ein Tabellenkalkulationsprogramm zur Verfügung hat. Dann besteht die wesentliche Arbeit darin, die Vektoren abzuschreiben. Und man sieht:$$\det(v_4, v_5,v_1,v_2) = 0$$diese vier Vektoren sind linear abhängig.
Wähle einen dieser vier Vektoren und stelle ihn als Linearkombination dar. Z.B.: \(v_4 = v_1 + \frac 12 v_ 2 -v_5\)
Hat man keinen Rechenknecht, so kann man auch zu Fuß rechnen. Dazu notiert man die fünf Vektoren in Zeilenform und versucht wie beim Gaußschen Algorithmus die entstanden Matrix so zu vereinfachen, dass in jeder Spalte nur eine Zahl \(\ne 0\) stehen bleibt. Also$$\begin{array}{cccc|l}1& 1& 1& 1& v_1\\ 4& 4& 0& 0& v_2\\ 3& 4& 2& 1& v_3\\ 2& 3& 1& 1& v_4\\ 1& 0& 0& 0& v_5\end{array}$$Ich ziehe nun ein Vielfaches von \(v_5\) von den anderen ab, und notiere in der letzten Spalte, welche Kombination von Vektoren zu dieser Zeile führt$$\begin{array}{cccc|l}0& 1& 1& 1& v_1,v_5\\ 0& 4& 0& 0& v_2,v_5\\ 0& 4& 2& 1& v_3,v_5\\ 0& 3& 1& 1& v_4,v_5\\ 1& 0& 0& 0& v_5\end{array}$$Nun den Vektor der ersten Zeile nutzen, um die Vektoren der zweiten bis vierten Zeile zu reduzieren:$$\begin{array}{cccc|l}0& 1& 1& 1& v_1,v_5\\ 0& 0& -4& -4& v_1,v_2,v_5\\ 0& 0& -2& -3& v_1,v_3,v_5\\ 0& 0& -2& -2& v_1,v_4,v_5\\ 1& 0& 0& 0& v_5\end{array}$$und nun kann man bereits sehen, dass die zweite und vierte Zeile linear abhängig sind. Die zweite ist das doppelte der vierten Zeile. Und die Menge der beteiligten Vektoren ist \(v_1,v_2,v_4,v_5\). Ist das also das gleiche Ergebnis wie oben.
(2.) Da stehen ja nur \(v_4\) und \(v_5\) zur Verfügung. Wenn man in (1.) den Weg über die 5 Determinanten gewählt hat, weiß man bereits, dass \(v_4\) und \(v_5\) beide linear unabhängig zu \(v_1\) bis \(v_3\) sind. Ansonsten müsste man entweder die Derminaten berechnen oder mit dem Gaußschen Algorithmus die jeweilige Stufenform bestimmen.
(3.) Hier ist ein beliebiger Vektor \(v\) gesucht, der von \(v_1\) bis \(v_3\) unabhängig ist. Eine triviale Lösung wäre \(v = 2v_4\). oder man reduziert die drei Vektoren in der oben beschriebenen Art&Weise:$$\begin{array}{cccc|l}1& 1& 1& 1& v_1\\ 0& 0& -4& -4& v_2-4v_1\\ 0& 1& -1& -2& v_3-3v_1\end{array}$$und nun wählt man einen Vektor, der von dem mit den meisten 0'en (also \(v_2-4v_1\)) unabhängig ist, wenn man nur die Werte rechnet, die ungleich 0 sind! Konkret bedeutet das hier, dass die dritte und vierte Koordinate verschieden sein müssen. Zum Beispiel$$ v = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$$das kann man auch mit einem der anderen Vektoren kombinieren. Zum Beispiel$$v = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + v_1 = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}$$
