Aloha :)
In der Punktmenge \(E=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,|\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1\right\}\) verwenden wir den Tipp und substituieren:$$u\coloneqq\frac{x}{a}\;;\;v\coloneqq\frac{y}{b}\quad\implies\quad x=au\;;\;y=bv\quad\implies\quad\frac{dx\,dy}{du\,dv}=\begin{vmatrix}a & 0\\0 & b\end{vmatrix}=ab$$Dann wird \(E\) beschrieben durch alle Punkt \((u;v)\) mit$$u^2+v^2\le1\quad\implies\quad u\in[-1;1]\quad;\quad v\in[-\sqrt{1-u^2}\,;\,+\sqrt{1-u^2}]$$
Die gesuchte Fläche \(F\) ist nun:$$F=\iint_EdA=\int\limits_{-1}^1du\int\limits_{-\sqrt{1-u^2}}^{+\sqrt{1-u^2}}dv\,ab=ab\int\limits_{-1}^1\left[v\right]_{-\sqrt{1-u^2}}^{+\sqrt{1-u^2}}=2ab\int\limits_{-1}^1\sqrt{1-u^2}\,du$$
Wir substituieren nochmal:$$u=\sin\varphi\;;\;\frac{du}{d\varphi}=\cos\varphi\;;\;\varphi=\arcsin(u)\;;\;\varphi(-1)=-\frac{\pi}{2}\;;\;\varphi(1)=\frac{\pi}{2}$$
und setzen alles ein:
$$F=2ab\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,\cos\varphi\,d\varphi=2ab\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\varphi\,d\varphi=4ab\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2\varphi\,d\varphi$$$$\phantom{F}=4ab\int\limits_0^{\pi/2}\frac{1}{2}(1+\cos(2x))\,dx=2ab\int\limits_0^{\pi/2}(1+\cos(2x))\,dx$$$$\phantom{F}=2ab\left[x+\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi/2}=2ab\cdot\frac{\pi}{2}=\pi\,ab$$
