Partielle Ableitung einer Funktion mit spezieller Definition bei (0,0)

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktion \(f\) : \( \mathbb{R}^2 \) \ {(0,0)} \( \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch

\(f(x,y)\) :=  \( \frac{e^{x+y}-x-y-1 }{x^2+y^2}  \) für (x,y) \( \in \mathbb{R}^2 \) \ {(0,0)}.

Definieren Sie \(f(0, 0)\) so, dass \(f\) die partielle Ableitung \(\frac{\partial f}{\partial x}\) (0,0) besitzt. Bestimmen Sie dabei insbesondere \(\frac{\partial f}{\partial x}\) (0,0) und begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Siehe hier:

https://www.mathelounge.de/1046798/bestimmen-insbesondere-partial-partial-begrunden-antwort

Answer 2

Hier eine simple Variante.

Um Schreibarbeit zu sparen, schreibe ich \(f_x\) statt \(\frac{\partial f}{\partial x}\).

Damit \(f_x(0,0) \) existiert, müssen wir \(f(x,0)\) für \(x\neq 0\) untersuchen:

$$f(x,0) = \frac{e^x-x-1}{x^2}\stackrel{Taylor}{=}\frac 1{x^2}(1+x+\frac 12 x + \frac 16 x^3 + o(x^3) - x - 1)$$

$$=  \frac 12 + \frac 16 x + o(x)$$

Damit setzen wir

\(f(0,0) = \frac 12\) und dabei ist \(f_x(0,0)=\frac 16\), denn es ist

$$\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\frac{f(x,0)-\frac 12}{x}= \frac 16 + o(1)\stackrel{x\to 0}{\longrightarrow}\frac 16$$

Comments

Vielen Dank, dass hat mir sehr geholfen!