Partielle Ableitung einer Funktion mit spezieller Definition bei (0,0)

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktion $f$ : $\mathbb{R}^2$ \ {(0,0)} $\rightarrow \mathbb{R}$ definiert durch

$f(x,y)$ :=  $\frac{e^{x+y}-x-y-1 }{x^2+y^2}$ für (x,y) $\in \mathbb{R}^2$ \ {(0,0)}.

Definieren Sie $f(0, 0)$ so, dass $f$ die partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial x}$ (0,0) besitzt. Bestimmen Sie dabei insbesondere $\frac{\partial f}{\partial x}$ (0,0) und begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Siehe hier:

https://www.mathelounge.de/1046798/bestimmen-insbesondere-partial-pa…

Answer 2

Hier eine simple Variante.

Um Schreibarbeit zu sparen, schreibe ich $f_x$ statt $\frac{\partial f}{\partial x}$.

Damit $f_x(0,0)$ existiert, müssen wir $f(x,0)$ für $x\neq 0$ untersuchen:

$$f(x,0) = \frac{e^x-x-1}{x^2}\stackrel{Taylor}{=}\frac 1{x^2}(1+x+\frac 12 x + \frac 16 x^3 + o(x^3) - x - 1)$$

$$= \frac 12 + \frac 16 x + o(x)$$

Damit setzen wir

$f(0,0) = \frac 12$ und dabei ist $f_x(0,0)=\frac 16$, denn es ist

$$\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\frac{f(x,0)-\frac 12}{x}= \frac 16 + o(1)\stackrel{x\to 0}{\longrightarrow}\frac 16$$

Comments

Vielen Dank, dass hat mir sehr geholfen!