stammfunktion von e-funktionen bilden

Question

Wie bildet man die Stammfunktion von diesen beiden e-Funktionen? f(x) = (x+1)^2*e^{1-x} und g(x) = 2*(x+1)*e^{1-x} 

Answer 1

g(x) = 2*(x+1)*e^1-x 

^{Das geht mit partieller Integration , die andere Aufgabe geht analog.}

Answer 2

Hi!

Das geht mit partieller Integration. Bei f(x) muss man sogar mit partieller Integration doppelt integrieren. Falls dir das alles nichts sagt, hier ein Link:

Comments

Bei g(x) musst du entsprechend verfahren

Answer 3

f(x) = (x + 1)^2·e^{1 - x} = (x^2 + 2·x + 1)·e^{1 - x}

Allgemeiner Ansatz einer Stammfunktion

S(x) = (a·x^2 + b·x + c)·e^{1 - x}

s(x) = (2·a·x + b)·e^{1 - x} - (a·x^2 + b·x + c)·e^{1 - x} = e^{1 - x}·(- a·x^2 + x·(2·a - b)  + (b - c))

Jetzt findet man die Parameter a, b und c über Koeffizientenvergleich. Und dann hat man auch die Stammfunktion

f(x) = s(x) --> a = -1 ; 2·(-1) - b = 2 --> b = -4 ; (-4) - c = 1 --> c = -5

Stammfunktion

F(x) = (- x^2 - 4·x - 5)·e^{1 - x}

Comments

Ich fürchte das ist leider falsch:

Die Ableitung deiner Lösung ist ja:

F '(x)= (- x² - 4·x - 3) * e^1-x *(-1)+ (-2x-4)*e^1-x

      =(x²+2x -1)*e^1-x   

         ≠ (x² + 2·x + 1)·e^{1 - x}

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Wer wird denn gleich den Tippfehler von -3 zu krumm nehmen. Das wär dem Fragesteller beim Nachrechnen sicher aufgefallen. Aber ich habs oben verbessert.

Generell ist dieses Verfahren aber sicherer und weniger fehleranfällig als die doppelte partielle Integration.