Hi. Bei dieser Aufgabe würde ich mit dem Epsilon-Delta-Kriterium beweisen, denn ich weiß ja, dass die Folge \( (b_n) \) auch gegen \( a \) konvergiert.
Lösungsvorschlag:
Aufgrund der bekannten Konvergenz der Folge \( (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \), d.h.
$$ \lim\limits_{n\to\infty}a_n = a \;\;\,:\Longleftrightarrow\;\;\, \forall \varepsilon > 0 \;: \;\exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \;: \;\forall j > N(\varepsilon)\; : \;|a_j - a| < \varepsilon\;\;\color{red}{(\star)} $$
können wir für ein beliebig gewähltes \( \varepsilon > 0 \) einen natürlichen Index \( N(\varepsilon) \) so finden, dass alle Folgenglieder \( a_j \) mit \( j > N(\varepsilon) \) immer innerhalb der \( \varepsilon \)-Umgebung von \( a \) befinden, d.h. \( (\star)\;\; |a_j - a| < \varepsilon \). Ebenso gilt für die Folge \( (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \), dass alle Folgenglieder \( b_n \) mit \( n > N(\varepsilon) \) immer innerhalb der \( \varepsilon \)-Umgebung von \( a \) befinden, d.h. \( |b_n - a| < \varepsilon \), wie im Folgenden gezeigt wird:
$$ \begin{array}{rcl} |b_n - a| & = & \Biggl|\; \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a_j \;\;-\; a \;\Biggr| \\ & = & \Biggl|\; \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a_j \;\;-\; \dfrac{1}{n}\cdot a \cdot n \;\Biggr| \\ & = & \Biggl|\; \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a_j \;\;-\; \dfrac{1}{n} \cdot a \cdot \sum\limits_{j=1}^{n} 1 \;\Biggr| \\ & = & \Biggl|\; \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a_j \;\;-\; \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a \;\Biggr| \\ & = & \Biggl|\; \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} (a_j - a) \;\Biggr| \\ & \leq & \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \underbrace{|a_j - a|}_{<\; \varepsilon\;\,(\star)} \\ & < & \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \varepsilon \\\\ & = & \dfrac{1}{n} \cdot \varepsilon \cdot n \\\\ & = & \varepsilon\\ \end{array} $$
Dadurch haben wir gezeigt, dass die Folge \( (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \) gegen
\( a \in\mathbb{R}\) konvergiert, d.h.
$$ \lim\limits_{n\to\infty}b_n = a \;\;\,:\Longleftrightarrow\;\;\, \forall \varepsilon > 0 \;:\; \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \;:\; \forall n > N(\varepsilon) \;:\; |b_n - a| < \varepsilon $$
Ich hoffe, es hilft.
MfG.
