Aloha :)
Wir betrachten das Konvergenzverhalten der Summe
$$S\coloneqq\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\quad\text{mit}\quad a_k=\frac{k^2}{5^k}$$
mit Hilfe des Quotientenkriteriums:
$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{\frac{(k+1)^2}{5^{k+1}}}{\frac{k^2}{5^k}}\right|=\left|\frac{(k+1)^2}{5^{k+1}}\cdot\frac{5^k}{k^2}\right|=\frac{5^k}{5^{k+1}}\cdot\frac{(k+1)^2}{k^2}=\frac{\cancel{5^k}}{\cancel{5^{k}}\cdot5}\cdot\frac{(k+1)^2}{k^2}$$An dieser Stelle verwenden wir den Hinweis:
$$\phantom{\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}=\frac{1}{5}\cdot\left(1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2}\right)\to\frac{1}{5}\cdot(1+0+0)=\frac{1}{5}<1\quad\checkmark$$
Der Quotient konvergiert also für \(k\to\infty\) gegen \(\frac{1}{5}\), also gegen eine Zahl, die kleiner als \(1\) ist. Daher garantiert uns das Quotientenkriterium die Konvergenz der Summe.
