Zeigen Sie, dass alle Zahlen a_n konstruierbar sind!

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Folge {a_n}n∈N reeller Zahlen mit
a_0 = 1 und a_n+1 =\( \sqrt{1+a_n} \)
Zeigen Sie, dass alle Zahlen a_n konstruierbar sind!

Answer 1

Die Strecke a_n wird um 1 und nochmal um 1 verlängert.

Diese Strecke der Länge 2+a_n ist Durchmesser eines Halbkreises und wird in zwei Teilstrecken der Länge 1+a_n und 1 zerlegt. Im Zerlegungspunkt wird die Höhe errichtet, die nach dem Höhensatz die Länge \( \sqrt{(1+a_n)\cdot 1} \)  hat.

(Die ganze Geschichte natürlich induktiv...)

Answer 2

Hallo

alles nur Pythagoras. Wenn man a_n als Länge hat hat zeichnet man im rechten Winkel dazu 1LE  die Hypotenuse ist a_n+1

also ein Induktionsbeweis.

Gruß lul

Comments

Dann bekommt man aber \( \sqrt{1+a_n^2} \) und nicht das verlangte \( \sqrt{1+a_n} \).