Für welche ganzen Zahlen ist eine Nullstelle konstruierbar?

Question

Aufgabe:

Für welche ganzen Zahlen k ist eine der reellen Nullstellen des Polynoms
f_k = X³ − k · X + 3
konstruierbar?

Problem/Ansatz

Comments

wirklich x^3 oder doch ein Tipfehler und x^2?

lul

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Wäre es nur eine quadratische Funktion, so sind natürlich für alle ganzzahligen k alle möglichen Nullstellen konstruierbar (falls es überhaupt Nullstellen gibt). In der rechnerischen Lösung kommen nur Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen vor, und die entsprechen immer konstruierbaren Streckenlängen.

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Mit "Konstruierbarkeit" ist wohl gemeint, dass dazu nur die klassischen (euklidischen) Konstruktionsmethoden zugelassen sind.

Aber: Welche (algebraischen) Kriterien gibt es überhaupt für den vorliegenden Fall, wo es um die Lösungen einer kubischen Gleichung geht ? Im allgemeinen Fall geht da wohl gar nichts, denn in der Lösungsformel kommt unweigerlich auch ein Kubikwurzelterm vor. Wolfram Alpha liefert hier etwa:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%5E3-k+x+%2B3%3D0+%2C+x

Deshalb hier noch meine Nachfrage an mathe_neuling1234:

Aus welchem genauen Zusammenhang stammt denn diese Aufgabe überhaupt ?

Was wurde allenfalls im Vorfeld besprochen ?

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Körpererweiterungen war das Thema das davor kam.

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Ich habe jetzt wenigstens eine Vermutung:

Es scheint, dass die Lösung nur dann konstruierbar ist, wenn sie auch ganzzahlig ist. Mit ein wenig Hilfe von Wolfram Alpha kam ich so auf folgende möglichen Fälle:

(1.)  k = -2 , x = -1   (diese Lösung hatte georgborn schon geliefert)

(2.)  k = 4  , x = 1

(3.)  k = 8  , x = -3

(4.)  k = 10 , x = 3

Nun soll mich nur bitte keiner nach einer eingehenden Begründung fragen - das Thema war vor Jahrzehnten mal im Rahmen einer Vorlesung zur Zahlentheorie dran ...

Über eine allfällige Bestätigung meiner Vermutung (inkl. Hinweis zur Lösungsidee) würde ich mich allerdings freuen.

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Noch eine kleine Korrektur:  Falls das ganzzahlige k so gewählt ist, dass (wenigstens) eine der möglichen Lösungen für x ganzzahlig ist, dann sind auch die übrigen (reellen oder allenfalls komplexen) Lösungen konstruierbar.

Beispiel:

k = 8 ,  also   f(x) = x³ - 8 x + 3

erste Lösung:   x₁ = -3

Polynomdivision:   f(x) / (x + 3) =  x2 - 3x + 1

weitere Lösungen:   x_2,3 = ( 3 ± √{5) ) / 2

Answer 1

f_k = X^3 − k · X + 3

x = -1
f_k (-1) = (-1)^3 − k · (-1) + 3
f_k (-1) = 2 − k · (-1)
2 − k · (-1)  = 0
2 + k = 0
k = -2

Comments

Da wären bestimmt noch Erläuterungen notwendig oder wenigstens angebracht !

(oder wolltest du nur eine - von möglicherweise vielen - Lösungen angeben ?)

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Richtig. Es sind wohl ALLE Nullstellen
gefragt. Ich warte aber erst einmal ab ob
es x^2 oder x^3 heißen soll bzw. bis
der Fragesteller sich meldet.

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danke für die Antworten! X³ ist richtig.

Answer 2

Das ist jetzt möglicherweise eine totale Sackgasse, aber konstruierbar dürften alle Zahlen der Form a+\( \sqrt{b} \) sein mit a, b ∈ℚ (a-\( \sqrt{b} \) natürlich auch.

Wenn eine solche Zahl Nullstelle der gegebenen Funktion ist, müsste mit diesen rationalen Zahlen a, b gelten:

  \((a\pm \sqrt{b})^3 − k (a\pm \sqrt{b})+ 3=0\)

Das müsste man ausmultiplizieren, dabei entstehen einige rationale und einige irrationale Summanden, und das k muss so gestaltet sein, dass sich die irrationalen Summanden aufheben (denn sonst würde nicht die rationale Zahl 0 herauskommen).

Ich weiß nicht, ob das so durchführbar und zielführend ist, aber bis jetzt kam ja nichts, was wesentlich erfolgversprechender gewesen wäre.