Also der metrische Raum ( X , d) ist vollständig.
Da musst du nur zeigen, dass jede Cauchyfolge in X konvergiert.
Sei also (xn ) n ∈ ℕ eine Cauchyfolge in X .
Dann gibt es zu ε=1 ein N mit d(xn ,xm ) < 1 für alle n,m > N.
also gilt für alle diese Folgenglieder diese | xn - xm | < 1.
Zwei ganze Zahlen, die sich um weniger als 1 unterscheiden,
sind aber gleich, also gibt es ein c∈X mit c= xn = xm für alle n,m > N.
Damit gilt für alle n > N. d( xn , c ) = | xn - c | = 0 < ε für jedes ε>0.
Also konvergiert die Folge gegen c. q.e.d.
