\( d(z,w):=\begin{cases} |z-w| & \exists \lambda>0,~z=\lambda w \\ |z|+|w| & sonst\end{cases}\\,~wobei~~d:\mathbb{C} \times \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{R} \\ Zeichne ~~K_1(\frac{1}{2}+\frac{i}{2})=\{z\in\mathbb{C}|d(z,\frac{1}{2}+\frac{i}{2})<1\}\\ Fall ~~1 ~~\exists\lambda>0:z=\lambda \cdot w =\lambda \cdot (\frac{1}{2}+\frac{i}{2}) :\\ |z-w|=|\lambda w -w|=|w\cdot( \lambda -1)|=\\|(\frac{1}{2}+\frac{i}{2})\cdot( \lambda -1)|(\frac{1}{2}+\frac{i}{2})|\cdot|( \lambda -1)| = \sqrt{(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{(\lambda-1)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{(\lambda-1)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot ( \lambda-1)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\lambda^2-\lambda+\frac{1}{2}}<1 \leftrightarrow \frac{1}{2}\lambda^2-\lambda+\frac{1}{2}<1 \leftrightarrow \frac{1}{2}\lambda^2-\lambda-\frac{1}{2}<0 \\ Für~~ welche ~~ \lambda~~ gilt ~~das?\\ \frac{1}{2}\lambda^2-\lambda-\frac{1}{2}=0 \\ \lambda_{1,2} =1 \pm\sqrt{2} , also ~~für ~~\lambda < ?\\ Fall ~~2 ~~„sonst“: |z|+|w|<1~~ \lambda_{1,2} \leftrightarrow |z|<1-|w|=1-\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0,65 \)
Ich bekomme die Zeichnung nicht hin und habe Probleme die richtige Bedingung für lambda bei Fall 1 zu finden. Kann mir jemand erklären, wie man eine Metrik dieser Art zeichnet?
Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen und wünsche euch noch einen angenehmen Tag :)
