Wie bestimmt/zeichnet man die Abstände unter der "U-Bahn-Metrik"?

Question

Aufgabe:

Sei \( P=\{(0,0),(0,1),(1,1),(2,1),(2,0),(3,0)\} \subset \mathbb{R}^{2} \). Wir betrachten \( \mathbb{R}^{2} / P \) mit der U-Bahn-Metrik \( d \) wie in Beispiel (1).
Bestimmen Sie \( d((3,1), P), d((7 / 2,0),(1,3 / 2)), d((4,4),(4,5)) \) und skizzieren Sie \( B_{1}(P), B_{1}((0,3 / 2)) \) in \( \mathbb{R}^{2} \).

Beispiel (1):

Sei \( P:=\left\{x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{N}\right\} \) eine endliche Teilmenge des \( \mathbb{R}^{2} \), und betrachte die Menge \( \mathbb{R}^{2} / P:=\left(\mathbb{R}^{2} \backslash P\right) \cup\{P\} \)
(d.h. man betrachtet \( \mathbb{R}^{2} \) und identifiziert dabei die Punkte aus \( P \) ). Dann ist durch \( d(x, y):=\min \left\{|x-y| ; \min _{j=1, \ldots N}\left|x-x^{j}\right|+\min _{k=1, \ldots N}\left|y-x^{k}\right|\right\} \)
fiir \( x, y \notin P \) und \( d(x, P):=\min _{j=1, \ldots N}\left|x-x^{j}\right| \) die , U-Bahn-Metrik auf \( \mathbb{R}^{2} / P \) gegeben.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider nicht, wie die gegebene Metrik die Punkte erfasst. Über eine Erklärung dazu würde ich mich sehr freuen, denn ich begreife einfach nicht nach welchem Schema man die Abstände bestimmen und dann noch skizzieren soll.

Vielen Dank schonmal im Voraus :)

Answer 1

Ich glaub wir besuchen die selbe Vorlesung :)

Also die U- Bahn Metrik kann man sich so vorstellen, dass die Punkte in P (also (0,0),(0,1)...) die U-Bahn Haltestellen sind. Und die Metrik d(x, y) zeigt dann den Abstand von x zur nächsten U - Bahn Haltestelle (also zu einem Punkt aus der Menge P - hier x1.... x6) plus den Abstand von y zur nächsten U-Bahn Haltestelle.

Nächste Haltestelle bedeutet hier die bei der |x-xi| minimal ist. Also die Haltestelle bei die den kleinsten Abstand zu x hat

Um das ganze zu skizzieren musst du dann nur die Punkte von P eintragen und dein x und y und die beiden mit der nächsten Haltestelle verbinden :)

Hoffe das hilft dir ein bisschen weiter

Comments

Danke für die Erklärung, jetzt konnte ich mir schon mehr darunter vorstellen.

Ich hab mal versucht \( d((3,1), P) \) herauszufinden und wenn ich deiner Beschreibung folge und die Definition \( d(x, P):=\min _{j=1, \ldots N}\left|x-x^{j}\right| \) verwende, erhält man:

\( d(x, P):=\min(\left|(3,1)-(0,0)\right|, \left|(3,1)-(0,1)\right|, \left|(3,1)-( 1,1)\right|, \left|(3,1)-(2,1)\right|, \left|(3,1)-(2,0)\right|, \left|(3,1)-(3,0)\right|) = \min((3,1), (3,0), (2,0), (1,0), (1,1), (0,1)) \)

Aber da hab ich jetzt das Probelm, wie man nun hier den kleinsten Abstand wählt, weil es ja (0,1) oder (1,0) sein könnte, der den kleinsten Abstand zu (3,1) hat.

Und macht das Sinn von der Bestimmung des Abstands?

Und bei der Skizze soll, wollte ich fragen, ob du da zuerst die Punkte eingetragen hast und dann um die Punkte Kreise gemalt hast? Denn sonst verstehe ich den Sinn und Zweck von \( B_1 (...)\) nicht so ganz.

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Dein Ergebnis ist ja nicht ein Vektor, sondern ein Element von ℝ. Also z. B.

|(3,1),(2,1)| = \( \sqrt{(3-2)^2+(1-1)^2} \) = \( \sqrt{1+0} \) = 1

und

|(3,1),(3,0)| = \( \sqrt{(3-3)^2+(1-0)^2} \) = \( \sqrt{0+1} \) = 1

Also ist dein minimum und somit das Ergebnis einfach 1.

Also d((3,1),P)= |(3,1),(2,1)| = |(3,1),(3,0)| = 1

Zum skizzieren, hast du total richtig erkannt brauch man die Definition von \( B_1 (...)\). (im Skript ist das Definition 6.19)

Hier ist dann z. B.

\( B_1 (P)\) = {y ∈ X : d(P, y) <1}

und

d(P, y) <1 ⇔ min_{i∈[1,...,6]}( | x_i - y |) <1

Also auf deutsch alle y deren Abstand zur nächsten U-Bahn Station weniger als 1 ist.

Bisschen komplizierter wird die andere Skizze. Da kannst du dir ja zwei Möglichkeiten vorstellen.

Also den Fall |(0,3/2) - y|<1

Oder

d(P, y) <0,5 da d(P, (0,3/2)) = 0,5

Also jap das werden dann immer so Kreise um P bzw (0,3/2) mit Radius 1 oder hier 0,5.

Die Gesuchte Menge ist dann die Fläche dieser Kreise (Ohne den Rand da < 1 und nicht ≤ 1)

:)

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Okay super, vielen Dank für deine Mühe alles so schön verständlich aufzuschreiben. Konnte die Aufgabe nun endlich lösen :)

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Freut mich :) und kein ding