Hallo,
ich bin mir nicht sicher!
Aber ich meine, dass jeder Winkel mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, deren trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan) als eine Kombination von rationalen Zahlen und Quadratwurzelausdrücken darstellbar sind.
Das siehst Du einem Winkel, der womöglich in Grad gegeben ist, aber nicht an. So ist 123,75° konstruierbar, aber z.B. ist $$\cos(123,75°) = -\sin(33,75°)\approx -0,55557023301960222474283081394853$$und dieser Zahl kann man es nicht ansehen, ob sie eine Kombination aus rationalen Zalhen und Quadratwurzeln ist. Zumal dies ja bloß eine Näherung ist!
Einfacher ist es bei Winkeln wie z.B. 36° oder 15°. Es ist $$\cos(36°) = [0;\,1,\,\overline 4]\\\tan(15°) = [0;\,3,\,\overline{1,\,2}]]$$in der Kettenbruchdarstellung. Ist so ein Kettenbruch periodisch, so handelt es sich um eine solche Zahl. Und bei diesen Werten lässt sich das noch mit einem üblichen TR (näherungsweise!) berechnen. Die Periode einer Kettenbruchentwicklung von \(\sin(33,75°)\) ist (wenn sie überhaupt existiert!) für einen üblichen TR viel zu lang.
Die Angabe eines Winkels in Grad ist in diesem Zusammenhang eigentlich ungünstig. Die Angabe eines Winkels \(\alpha\) mit der Vorgabe $$\sin\left(\alpha - \frac \pi2\right) = \frac{5}{9}, \quad \frac \pi2 \lt \alpha \lt \pi$$ist in jedem Fall konstruierbar. Und das \(\alpha\) ist hier etwa \(\alpha \approx 123,749°\)
Ist der Winkel dagegen in Grad gegeben, so wirst Du in der Praxis am 'schnellsten' um das 'lange auszuprobieren' nicht herum kommen. Bzw. stelle die Gradzahl als rationale Zahl dar und multipliziere sie mit \(2/3\). Steht im Nenner dann nur eine Potenz von \(2\), so ist der zugehörige Winkel konstruierbar. Im anderen Fall ist es aber nicht sicher, dass er nicht konstruierbar ist.
In diesem Kontext könnte auch der Wiki-Artikel über die Dreiteilung des Winkels interessant sein.
Gruß Werner
